本文总结向量空间的一些内容，由于向量空间的知识（子空间、矩阵的行列空间、空间的基、线性无关、空间维数、秩）在上一篇文章中已有很多介绍，因此本文着重回顾马尔科夫矩阵和傅里叶级数

马尔科夫（Markov）矩阵： def:一个具有非负分量（元素）且各分量（元素）数值相加等于1的向量称为概率向量；马尔科夫矩阵又称随机矩阵，是各列向量均为概率向量的方阵

马尔科夫链：由一组概率向量序列 x0,x1,x2... x 0 , x 1 , x 2 . . . 和一个随机矩阵P组成，且满足： x1=Px0,x2=Px1,x3=Px2,... x 1 = P x 0 , x 2 = P x 1 , x 3 = P x 2 , . . . 可表示为如下一阶差分方程： xk+1=Pxk,k=0,1,2,... x k + 1 = P x k , k = 0 , 1 , 2 , . . .

上述 xn x n 常称为状态向量，它们表明概率向量序列中的各元素之间在空间或时间上存在关系，即马尔科夫过程：某个随机变量的状态仅取决于上一个变量的状态

马尔科夫矩阵有如下性质： 1.马尔科夫矩阵的幂仍然是马尔科夫矩阵 2.马尔科夫矩阵必有一个特征值为1，且其他所有特征值的绝对值小于1

上述两个性质直接产生了如下两个结论： 1.对于一个马尔科夫矩阵P，一定存在一个概率向量q，满足 Pq=q P q = q ，这个概率向量q被称作稳态向量（或平衡向量），显然，它就是矩阵P值为1的特征值对应的特征向量 2.考虑前面提到的马尔科夫链 xk+1=Pxk,k=0,1,2,... x k + 1 = P x k , k = 0 , 1 , 2 , . . . ，若 x0 x 0 是任意一个起始状态，当k趋近于无穷时，{ xk x k }收敛于稳态向量q，这说明了初始状态对于马尔科夫链的长期行为没有影响。

显然，结论2的证明：把矩阵P做对角化（特征值分解）后，由于除了1之外其余特征值均小于1，很多幂次后趋于0，对角阵中仅剩下1起作用，乘积得到的也就是结论1中介绍的稳态向量q

傅里叶级数： 根据线性代数中子空间和基向量的理论，空间中任意向量可由该空间中的一组正交基唯一的线性组合得到。把傅里叶级数中的函数看做无穷维空间中的向量，频率从0到无穷大的正弦和余弦函数两两正交，一起构成了无穷维（函数）空间的一组正交基（函数正交，即定义域内（一个周期）两函数内积（积分）为0），傅里叶系数则是各个基函数（基向量）的权重。若要求某个系数，对表达式两边同时乘以这个基向量即可（与其余基向量乘积均为0，最后仅剩下要计算的这一项系数）