题主在问出这个问题之前，应该学过实数范围内的开平方、开立方运算，也学过二次根式的化简。

题主的困惑可能源于初中数学课本有关「二次根式」的章节中，对二次根式的乘法法则与除法法则是仅仅通过特殊值归纳的方式总结出来的（见图）。然而，非负数有无穷多个，为什么通过有限的特殊值归纳得到的结论对任意非负数都成立［除法法则中，除数取任意正数］？如果它们不能利用纯字母推导出来，似乎既没有说服力，也不能说明结论的一般性。

目前的初中数学课本之所以没有对这个问题进行详细的说明，可能是编写教科书的人为了照顾学生的平均水平，故意避开了这个需要涉及到「根号套根号」的情况。

下面详细地回答题主的问题。

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首先，我们引入「（实数范围内）开方」的基本概念。

其中： a 称作「被开方数」， n 称作「根指数」， x 称作「方根（值）」。

也就是说，「开方」其实就是指已知乘方运算中的指数和幂，求底数的运算。它是乘方的一个逆运算。（另一个逆运算是「对数」，详见我的另一篇答案：https://www.zhihu.com/question/305753151/answer/1758435891）

如果使用运算符号表示实数范围内的开方运算的话，就是：

这里需要注意的是：正数的偶数次方根对应两个实数值，且互为相反数。然而，为了确保一个式子只对应一个数，习惯上只把正的方根用根号（\sqrt{\hspace{10pt}} ）表示。否则，求解具体问题时，我们既无法区分诸如 1+\sqrt 5 与 1-\sqrt 5 两个不同的数（前者为正，后者为负），也无法简要地表示哪个值需要舍掉。

换言之，由于开方运算结果的多值性，我们并没有严格意义上的「开方」运算符号。符号 \sqrt[n]{a} 其实表示的是：实数 a 的 n 次方根中，具有与被开方数 a 相同正负号的（唯一）实数值，它是多个可能方根的一个。

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通过上面的讨论，我们知道 乘方运算 与 开方运算 是 互逆 的关系。

类似于实数域与复数域内，加法与减法、乘法与除法 之间具有如下的互逆关系

在实数域内，对于 乘方与开方，我们同样也应该有

① 当根指数 n 为正奇数时， \sqrt[n]{a^n}=a ， (\sqrt[n]{a})^n=a 。

② 当根指数 n 为正偶数，且被开方数 a\ge 0 时， \sqrt[n]{a^n}=a ， (\sqrt[n]{a})^n=a 。

这是因为， \sqrt[n]{a^n} 的意义其实就是「哪个数的 n 次方等于 a^n ，且这个数的正负号与 a^n 相同」； (\sqrt[n]{a})^n 的意义其实就是「其 n 次方为 a ，且正负号与 a 相同的数，再 n 次方，结果是多少」。当根指数 n 与实数 a 在特定的范围内，二者都等于 a ，也就显而易见了。

① 和 ② 也被称为「根式的基本性质」。

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下面，我们利用根式的基本性质，推导出根式的 乘法法则 与 除法法则。

【根式的乘法法则】

\begin{split} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \ & =\sqrt[n]{(\sqrt[n] {a} \cdot \sqrt[n]{b})^n} \\ & =\sqrt[n]{(\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n} \\ & =\color{red}{\sqrt[n]{a \cdot b}.} \end{split}

其中，当 n 为正奇数时， a 、 b 可以为任意实数；当 n 为正偶数时， a\ge0 ， b\ge 0 。

【根式的除法法则】

\begin{split} \frac {\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}} \ & =\sqrt[n]{\left( \frac{\sqrt[n] {a}} {\sqrt[n]{b}} \right)^n} \\ & =\sqrt[n]{\frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}} \\ & =\color{red}{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.} \end{split}

其中，当 n 为正奇数时， a 、 b 可以为任意实数；当 n 为正偶数时， a\ge0 ， b>0 。