排列组合 |
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排列组合
排列 (Permutation)
定义:对于 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素,按照一定的顺序排成一排,叫做一个排列。排列的方案数记作 $\mathrm{A}^n_m$ 或者 $\mathrm{P}^n_m$ 。 排列满足以下公式: $$ \mathrm{A}^n_m = \frac{n!}{(n - m)!} $$ 特别地,$n=m$ 时称作“全排列”。 组合 (Combination)定义:对于 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素,按照任意的顺序排成一排,叫做一个组合。组合的方案数记作 $\mathrm{C}^n_m$ 或者 $\binom{n}{m}$ 。其中其满足: $$ \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m!)} $$ 因为排列与组合的关系,所以也满足: $$ \binom{n}{m} = \frac{\mathrm{A}^n_m}{m!} $$ 组合与杨辉三角的关系杨辉三角与组合也有紧密的联系。以下是杨辉三角的一部分: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1我们可以发现,对于杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的值 $Y_{nm}$ 满足: $$ Y_{nm}=\binom{n}{m} $$ 杨辉三角也是由前面的值代推出来的,因为其满足性质 $Y_{nm}=Y_{n-1m}+Y_{n-1m-1}$,所以对于组合,相同的结论也有效,得: $$ \binom{n}{m} = \binom{n - 1}{m} + \binom{n - 1}{m - 1} $$ 同时,杨辉三角每一行呈轴对称,所以发现其也满足 $$ \binom{n}{m} = \binom{n-m}{m} $$ 二项式定理对于任意的二项式 $(a+b)^n$,展开后可以发现满足以下定理: $$ (a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i} $$ 2024-04-13 10:08:32 本页面贡献者: 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用 |
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