本文将介绍复正弦信号和实数信号的DFT性质，内容包括：

首先说明，复正弦信号只是一种数学定义上的信号，在实际生活中没有发现过这种信号

我们先来看一种较为简单且比较有规律的复正弦信号，它的定义如下：

x 1 [ n ] = e j 2 π k 0 n / N n=0,1,2,...,N-1 x_1[n] = e^{j2\pi k_0 n / N} \\ \text{n=0,1,2,...,N-1} x1​[n]=ej2πk0​n/Nn=0,1,2,...,N-1

其中， e e e是自然常熟，N表示信号的个数。

至于 k 0 k_0 k0​，它是很关键的一个参数，我们可以将它理解为 x 1 [ n ] x_1[n] x1​[n]信号的周期个数。通常我们只能对一小段信号做DFT，因此需要先对信号截断，如果截断的信号刚好是整数周期，即 k 0 k_0 k0​是一个整数，那么信号不发生泄露；相反，如果截断信号不是整数周期，即 k 0 k_0 k0​是一个浮点数，那么发现信号泄露。

关于信号泄露，请参看这篇文章 什么是泄露

将复正弦信号的定义直接套上DFT的公式可以推出其DFT形式： X 1 [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x 1 [ n ] e − j 2 π k n / N = ∑ n = 0 N − 1 e j 2 π k 0 n / N e − j 2 π k n / N = ∑ n = 0 N − 1 e j 2 π ( k 0 − k ) n / N (1) \begin{array}{l} X_1[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x_1[n] e^{-j2\pi k n / N} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi k_0 n / N}e^{-j2\pi k n / N} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi(k_0 - k)n / N}\\ \end{array}\tag{1} X1​[k]​=∑n=0N−1​x1​[n]e−j2πkn/N=∑n=0N−1​ej2πk0​n/Ne−j2πkn/N=∑n=0N−1​ej2π(k0​−k)n/N​(1)

当 k 0 = k k_0 = k k0​=k 时， e j 2 π ( k 0 − k ) n / N = e 0 = 1 e^{j2\pi(k_0 - k)n / N} = e^{0} = 1 ej2π(k0​−k)n/N=e0=1，因此 X 1 [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 1 = N , if  k 0 = k X_1[k] = \sum_{n=0}^{N-1} 1 = N, \text{if } k_0=k X1​[k]=n=0∑N−1​1=N,if k0​=k

当 k 0 ≠ k k_0 \neq k k0​​=k 时，利用等比数列求和公式可得 X 1 [ k ] = 1 − e j 2 π ( k 0 − k ) n 1 − e j 2 π ( k 0 − k ) n / N = 0 \begin{array}{l} X_1[k] &= \frac{1-e^{j2\pi(k_0 - k)n}}{1-e^{j2\pi(k_0 - k)n/N}} \\ &= 0 \end{array} X1​[k]​=1−ej2π(k0​−k)n/N1−ej2π(k0​−k)n​=0​

即 X 1 [ k ] = { N , if  k 0 = k   0 , if  k 0 ≠ k X_1[k] = \begin{cases} N, & \text{if $k_0 = k$ } \\ 0, & \text{if $k_0 \neq k$} \end{cases} X1​[k]={N,0,​if k0​=k if k0​​=k​

这里仔细说明下 X 1 [ 0 ] = 0 X_1[0] = 0 X1​[0]=0是怎么来的

等比数列求和的推导，可以参考这个公式: ∑ k = 0 N z k = { 1 − z N + 1 1 − z , if  z ≠ 1   N , if  z = 1 \sum_{k=0}^{N} z^k = \begin{cases} \frac{1-z^{N+1}}{1-z}, & \text{if $z\neq 1$ } \\ N, & \text{if $z = 1$} \end{cases} k=0∑N​zk={1−z1−zN+1​,N,​if z​=1 if z=1​

我们将通过代码来展示复正弦信号的性质，首先生成一段复正弦信号，然后进行DFT，画出结果

import 需要的包

定义生成复正弦信号的函数

生成信号，进行DFT，画出结果

当k0是整数时，DFT后的结果与预期的一致

我们生活中遇到的信号都是实数信号，它的定义如下： x 2 [ n ] = A 0 cos ⁡ ( 2 π k 0 n / N ) = A 0 2 ( e j 2 π k 0 n / N + e − j 2 π k 0 n / N ) x_2[n] = A_0 \cos (2\pi k_0 n/N) = \frac{A_0}{2}(e^{j2\pi k_0 n/N} + e^{-j2\pi k_0 n/N}) x2​[n]=A0​cos(2πk0​n/N)=2A0​​(ej2πk0​n/N+e−j2πk0​n/N)

额…虽然生活中的信号都是实数信号，但是上面的式子是对实数信号的超高度浓缩版本，是最简单的版本。实际中的信号模型更为复杂。

将实数信号带入DFT等式中

X 2 [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x 2 [ n ] e − j 2 π k n / N = ∑ n = 0 N − 1 A 0 2 ( e j 2 π k 0 n / N + e − j 2 π k 0 n / N ) e − j 2 π k n / N = ∑ n = 0 N − 1 A 0 2 e − j 2 π ( k − k 0 ) n / N + ∑ n = 0 N − 1 A 0 2 e − j 2 π ( k + k 0 ) n / N (2) \begin{array}{l} X_2[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x_2[n] e^{-j2\pi k n / N} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{A_0}{2}(e^{j2\pi k_0 n/N} + e^{-j2\pi k_0 n/N}) e^{-j2\pi k n / N} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{A_0}{2}e^{-j2\pi(k-k_0) n / N} + \sum_{n=0}^{N-1} \frac{A_0}{2} e^{-j2\pi(k+k_0) n / N} \\ \end{array}\tag{2} X2​[k]​=∑n=0N−1​x2​[n]e−j2πkn/N=∑n=0N−1​2A0​​(ej2πk0​n/N+e−j2πk0​n/N)e−j2πkn/N=∑n=0N−1​2A0​​e−j2π(k−k0​)n/N+∑n=0N−1​2A0​​e−j2π(k+k0​)n/N​(2)

当 k = k 0 k=k_0 k=k0​或者 k = − k 0 k=-k_0 k=−k0​时，(2)式中一项为0，另一项为 N A 0 2 N\frac{A_0}{2} N2A0​​

否则(2)式为0

即 X 2 [ k ] = { N A 0 2 , if  k = k 0 , − k 0   0 , if  k ≠ k 0 X_2[k] = \begin{cases} N\frac{A_0}{2}, & \text{if $k = k_0, -k_0$ } \\ 0, & \text{if $k \neq k_0$} \end{cases} X2​[k]={N2A0​​,0,​if k=k0​,−k0​ if k​=k0​​

我们将通过代码来展示实数信号的性质，首先生成一段复正弦信号，然后进行DFT，画出结果

通过打印出结果，我们发现确实有2个峰值，但是并不是 k 0 k_0 k0​和 − k 0 -k_0 −k0​

其实只要做一次交换就可以，具体请看代码Y的实现