讲完函数极限与连续性之后，我们将序列与级数和函数结合起来。在本章，我们考察将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列收敛的含义，探讨它们的极限与一些其他的运算的联系。

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我们先介绍函数项序列的逐点收敛与一致收敛。

Definition 1.1.1 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，对函数\(f\colon X\to Y\)，若\(\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),\forall x\in X\)，则称\(\{f_n\}\)在\(X\)上逐点收敛于\(f\)。

这个定义非常明显，但事实上，我们很容易给出例子说明逐点收敛是很弱的。

Example 定义\(f_n(x)\colon [0,1]\to[0,1],x\mapsto x^n\)，显然它们在\([0,1]\)上连续，但对 \[ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}0,x\in[0,1),\\ 1,x=1, \end{cases} \] 在\(x=1\)处间断。

因此，我们引入一致收敛。

Definition 1.1.2 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，对函数\(f\colon X\to Y\)，若\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,x\in X\)有\(d_Y(f_n(x),f(x))0\)，由一致收敛定义可知\(\exists N,\forall n>N,x>X\)，有\(d_Y(f_n(x),f(x))0,\forall x\in B_X(x_0,\delta),d_Y(f_n(x),f_n(x_0))0,\forall x,y\in X,\forall f\in F\)，只要\(d_X(x,y)0\)，只要\(d_X(x,y)