泛函分析1.5

距离空间中（X，d）中的Cauchy序列是一个序列｛xn｝。其满足的性质为，当m，n＞N时，其的距离d（xm，xn）＜e。

也就是说，这个序列随着n的增大，其之间的距离会越来越接近。

我们知道，收敛序列一定会满足这个性质的，这个是显然的。但是序列的距离越来越近并不一定说明这个序列会收敛。（因为其收敛的东西，可能不在这个空间当中，比如无理数π）

为了说明这个问题，我们说了一个叫做完备性的东西！所谓的完备性，就是保证这种越来越靠近的数列，其最终会收敛到自己空间中的元素。这样的序列，我们就称为完备的！

所谓到完备，就是对极限运算是收敛的。这种性质，可以用Cauchy序列的收敛性来等价刻画。

我们说，如果一个空间的所有柯西序列是收敛的，那么这个空间对于极限运算就是封闭的。也就是说，这个空间是完备的。

所谓到完备，是对极限运算的完备。

所谓的完备，就是所谓的极限运算的封闭性，对于完备的距离空间。说的就是在一个距离空间中定义了所谓的极限后，我们希望这个极限运算是封闭的。

为什么我们不在有理数为定义域的函数中定义极限是有原因的，很大程度上是因为这样搞极限会算出有理数的范围。

于是，我们需要在定义了新的距离空间且定义极限后，讨论这个所谓的完备化的问题。我们知道在R中，以及R^n中定义极限是完备的，因为其的距离就是绝对值函数｜x1-x2｜。但是我们不知道在一个更加宽泛的空间中，在一个更加宽泛的距离意义下，所定义的极限运算是否会超脱这个空间呢？

这就要引入所谓的完备化距离空间，这里先介绍一个完备距离空间。我们称其为C[0,1]空间。

所谓空间，必是一个集合再定义一些结构，那么这个空间中的元素就是[0,1]上的复值连续函数。

现在说明一些完备的距离空间，总的来看，还是要与原来的实数空间的完备距离空间相互对照才可以。这里顺带的定义了线性，就是通常的乘法和加法。

距离是老生常谈的那种绝对值上确界之流，由于是闭区间上的连续函数，其必有最值，所以这里直接用max代替了sup，这就是所谓的C[0,1]空间。

这里显然是距离线性空间，因为其的极限运算都是线性的。

证明完备只需要任意一个Cauchy序列收敛即可，由于max小于即等价于全部小于，可以得到该式子。

对于每个t，这就是实数的东西，那么其{xn(t)}自然都是收敛的，所以我们知道xn（t）点点收敛于x（t），于是我们令一个无穷大即可得到其收敛的那个式子，故而其是完备的。当然这里要把其严格的补充为d的形式。最后，要求所谓的x（t）也是连续函数。（连续函数可以穿越极限号，所以还是连续函数，主要是其的性质太好了，不用去细究了）

总而言之，连续函数空间是完备的，其中定义极限运算是OK的，而且还是线性距离完备空间！

说完了连续函数空间C[0,1]，那么说一下p幂可积函数的完备性吧。其定义在全体p幂可积函数集合中，规定那个通常的欧几里得空间的距离。现在来说明其所谓的完备性，那就先构造一个Cauchy序列。（注意L^ 1或∞也可以成立，无穷时对应的是本质有界可测函数空间。）

这个过程要用到所谓的holder不等式，

这个不等式的前置引理非常简单，可以利用lnx函数是上凸函数来证明（这里实际上应该是琴生不等式，因为凸函数定义没有这么细致。）一般看见a^p之类的东西，我们都是希望使用对数函数来把上面的系数搬下来的。而且由于其的系数加起来和为1，很自然的就要想到琴生不等式。可能大学学的数学太繁杂，以至于大家失去来一些观察力。

上面的式子的右边的典型的连续函数内积的定义，左边是函数所谓的p范数，这个holder不等式，似乎是Cauchy不等式的升级版本？（我想不是，cuachy不等式对应的是广义的距离，这里也只是一个特例罢了）

既然如初，那就证明一下holder不等式。

这个定理的证明是构造性的，虽然很难把其自己凭空想出来，但是就如np-p问题一般，去验证这个证明的正确性是非常简单的。我们暂时不在一般的空间中去处理这种不等式，总而言之，我们暂时得到来holder不等式。

下面就可以证明L^p空间是完备空间了，其中的元素是所有p幂可积函数。距离就是holder不等式右边的东西类似。

上面的不等式和holder不等式完全就是天和之作，不过也不用太惊讶其的相似。

这个式子利用了1/2^n级数的收敛性控制其在了一个范围内，目前来看，这个东西还应该只是一个中间引理，因为还没有涉及到任意Cauchy序列。那为什么要搞这一出呢？这些都有什么意义呢，我们看见了上面的东西有相互抵消的趋势，而我们知道如果一个级数是绝对收敛的，那么其就可以交换各种级数和积分的顺序，而且内部的东西也会一致收敛。我们就是为了构造这种美妙的性质。

所以就马上可以构造出一个xN其处处收敛于一个函数。

但是这个证明过于硬核，我们还需要法图引理。

这个引理的理念上的意义是明显的，一个函数的下极限积分自然是最小的。而把其积分了再去下极限，会比原来的大很多。

这里似乎在左式中省略了对Nj的极限的说明，因为其直接把极限算出来了，其是收敛的，自然下极限就是极限了。

我们知道这样一搞，可以把x（t）还是L^p空间证明了。我们知道其确实是收敛的，而且收敛到本空间。下面就好办了，常规操作即可。

总结一下其证明L^p空间是完备空间的证明思路吧。其为了说明L^p空间中的任意Cauchy序列都收敛。先说明那个所谓的xn于xm中有一个是收敛的，而且收敛得到的东西还是本空间中的东西，然后以此为跳板，说明xn收敛于这个所谓的空间中的东西，那就说明xn是一个完备的空间，因为其是cauchy序列就推导出了这个xn收敛在空间中。

还记得以前是怎么证明这种cauchy序列的吗？在数学分析中叫的是，有界数列必有收敛子列，我们可以对于d（xn，xm）中的xm任意构造，在N确定时，让xm的m随意构造，通过一个1/2^n级数的有界性，以及错位相加相消的性质，说明了

当然，期间还用到了holder不等式，就是为了说明其构造的一个xm是收敛的，也就是找到了一个收敛的子列xNj，但是这个东西是否在空间中还是问题，

于是其紧接着利用fatou引理，证明了这个东西确实还是p幂可积函数，再根据线性，于是其还在空间中。（注意这里的L^p本身是距离空间也是线性空间，而且其可分，现在还是完备的）

那么接下来，我们以及知道xn于xm中，xm已经可以构造出一个收敛于L^p空间中的序列了，那么根据Cauchy序列的结构，马上可以确定xn收敛于x。马上就证明了xn也是收敛的，于是就证明了L^p是完备距离线性空间，任何极限运算在其中都是收敛的！

不得不说，上面的证明是硬核分析。比较困难。

那么如何把任意的距离空间完备化呢？我们知道通过有理数的极限，可以定义无理数以及实数，也就是说有理数可以通过极限来完备化其自身。于是乎，我们希望得到一个方法来完备化任何的距离空间。

我们抽象一下到底如何将有理数集合完备化，所谓的完备化，第一个就是空间肯定是变大了的，然后第二，距离定义不发生改变。第三，我们希望扩大的空间不是很鸡肋的，与原来的空间毫无关联，我们希望原来的空间至少是扩张后的空间的稠密集合。

对于有理数来说，其是可数的稠密集合，但是可数对于一般集合是要求过分的。按照上面的想法，可以用严格的数学语言来刻画所谓的完备化来。

第一，对于距离空间如果其不完备，那么找一个空间是完备的，而且其距离定义是完全一致的。

第二，我们希望通过建立一个映射，把原来空间X的元素对应到X’空间中去，这里避免来直接照搬，是一个非常不错的理论延展。当然映射之后的距离也是不能变化的，就像把有理数集合映射到R中一样，他们的距离还是没有变化的。

第三，映射过去的集合，也就是与X对应的集合要是完备空间X’的一个稠密集合，那么就说X’是X的完备化。

为什么说这个东西，因为任何距离空间都可以完备化，这看似非常自然，因为如果不完备，就把所有不完备的极限加入空间中就可以了！

思路☝应该是这样，我们先规定一个序列空间，然后把里面所有的Cauchy序列取出来，然后看看其收敛到哪里，当然不管其收敛到哪里，我们都把其确定为一个元素，加入到新到空间X’中去，这样就得到了一个完备到空间。

为了简洁起见，其也为了方便证明，不在乎构造出来到东西是否美观优雅，其直接把X’中到元素规定为X所有到Cauchy序列列，我们知道X中到任何一个元素自己构成到序列绝对是一个Cauchy序列，因为其本身自然是收敛的，这样必然存在一个映射从X到X’。

不过既然元素不是照搬过去了，是重新映射过去的，那么原来的d也应该顺应的改为p才行，要不然没法好好的定义距离。

把X中的所有Cauchy序列当作新的元素，以原来两个元素的极限作为新的空间X’中的所谓的距离，于是乎就有了新的距离，就是原来的两个Cauchy序列的距离的极限。

由于上述两个东西都是cauchy序列，所以d到无穷时的极限是存在的，不过不知道这个极限在不在空间中罢了。

相等的元素定义为距离相同，也就是原数列的极限相同。

这里的距离定义可以看出来，反正只要是新的空间中按距离意义下相同的Cauchy列，那么其的新的意义下距离是相同的。所以他们作为相同元素是可行的。我们得到了这样的X’空间，只是不知道其是不是完备的。而且X中映射过来的元素是不是可以是其的稠密集？

如果是的话，那么就可以搞出完备化这个东西了！

不过这里没有细说，只是说

不过想来也是，这本身就是把所有的Cauchy序列都加进来了，完善是应该的。

而映射是平凡的，直接单元素序列映射过去就好了，刚才的距离第三性质三角不等式也非常容易证明其满足。

最后就要证明T（X）在X’中稠密了。

所谓的稠密，就是在X’中任意找一个元素，要求其与X中映过来的元素的距离充分小。

因为其是Cauchy序列，这个自然是做得到的，随便一个X’中的元素，由于其是Cauchy序列，那么我们就可以找一个xk来满足其无限缩小的趋势。

于是T（X）在X’中是稠密的。

关于完备化，刚才只是一笔带过，现在要重新说明其是完备的，这样证明才算滴水不漏。

其首先就是构造一个l，使得p（ln，l）的距离充分小，也就是收敛。但这并不好说明，我们只能中间插入几项来放缩。

总而言之，其是完备的。那么就证明结束了。

我们知道了一个距离空间总是可以完备化的，只要构造其的所有的Cauchy序列空间，然后把自己等距映射过去，规定距离极限为新的距离。这样就得到了一个比原来的距离空间大的完备的空间啦。其实这非常自然啦，不过这里的分析太硬了，啃都啃不动，睡着了都要。

完备化是有好处的，比如x^2=2这种方程的解是无理数，如果不把有理数完备化，是得不到解的。在微分方程中，也有类似于极限的迭代过程，比如解常微分方程的Picard迭代法，这个过程中迭代得到的东西是完备的吗？非常重要。

这个自由边界的，零初速度和位移的单纯的强迫振动方程。其规定了一个函数方程Fk做为受迫力，这个力的在空间中的积分与F趋近于零。如每个Fk得到的解uk存在，而且使得其的距离与u越来越小，我们就称u为方程的广义解。这个解其实利用的就是L^p(p=2)空间的完备性得出来的，如果没有这种所谓的完备性，这么搞得到的解可能不在空间之中。