计量经济学复习笔记（七）：推翻经典假设 |
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本章中，我们将给出OLS估计量\(\hat\beta\)是BLUE的证明，并且说明经典假设对BLUE性具有什么样的影响。在此之前，要回顾经典假设的内容。 回归模型是正确设定的。 解释变量\(X_1,X_2,\cdots,X_k\)在所抽取的样本中具有变异性，且不存在严格线性相关性。 随机干扰项是条件零均值的。 随机干扰项是条件同方差的。 随机干扰项不序列相关。在此基础上，得到OLS估计量为 \[\hat\beta=(X'X)^{-1}(X'Y), \]它是最小方差线性无偏估计。注意，这里没有要求各随机误差项服从正态分布。 1、BLUE性的证明为发挥经典假设的作用，要从\(\hat\beta\)的来源说起。我们在第四篇笔记中已经得到了\(\hat\beta\)的表达式，具体说来，它是使得残差平方和最小的\(\beta\)值。 \[\begin{aligned} Q=&(Y-X\hat\beta)'(Y-X\hat\beta)\\ =&Y'Y-2Y'X\hat\beta+\hat\beta'X'X\hat\beta,\\ \frac{\partial Q}{\partial \hat\beta}=&-2X'Y+2X'X\hat\beta=0, \end{aligned} \]至此，我们得到一个等式： \[X'Y=X'X\hat\beta. \]要从中解出\(\hat\beta\)，需要用到一个性质：\(X'X\)是可逆的，这就要求\(X\)不存在严格的多重共线性。此时 \[\hat\beta=(X'X)^{-1}(X'Y). \]这就说明\(\hat\beta\)是线性的。接下来验证其无偏性，计算其期望： \[\begin{aligned} \mathbb{E}(\hat\beta)=&\mathbb{E}[(X'X)^{-1}X'(X\beta+\mu)]\\ =&\beta+(X'X)^{-1}X'\mathbb{E}(\mu). \end{aligned} \]如果要使得\(\mathbb{E}(\hat\beta)\)是无偏的，则要求\(\mathbb{E}(\mu)=0\)，这用到了随机干扰项的条件零均值性。 为了验证其有效性，先计算其方差，为 \[\begin{aligned} \mathbb{D}(\hat\beta)=&\mathbb{D}[(X'X)^{-1}X'\mu]\\ =&(X'X)^{-1}X'\mathbb{D}(\mu)X(X'X)^{-1}. \end{aligned} \]如果随机干扰项满足条件同方差性，就有\(\mathbb{D}(\mu)=\sigma^2I_n\)，此时 \[\mathbb{D}(\hat\beta)=\sigma^2(X'X)^{-1}. \]可以看出，只有当随机干扰项的同方差性与序列不相关性被满足，\(\hat\beta\)的方差才具有如此简洁的形式，否则接下来对方差的讨论就没有意义。并且可以看出，如果\(X\)具有近似的多重共线性，\(X'X\)的某些特征值就会接近0，求逆后其对角线元素就会很大，导致\(\mathbb{D}(\hat\beta)\)的对角线元素——各个\(\beta_i\)的方差很大，使得估计的精度变小；不仅如此，放大的区间估计还容易导致\(0\)落入置信区间，从而导致解释变量被错误排除在外。 接下来，在满足条件同方差性和序列不相关性的前提（即\(\mathbb{D}(\mu)=\sigma^2I_n\)）下，证明\(\hat\beta\)的有效性，这一性质也被表述为高斯-马尔科夫定理。假设还有其他线性无偏估计量，不妨记作 \[\hat\beta^*=[(X'X)^{-1}X'+D]Y,\quad D_{(k+1)\times n}. \]则由无偏性得到 \[\mathbb{E}(\hat\beta^*)=\beta+\mathbb{E}(DY)=\beta+\mathbb{E}[D(X\beta+\mu)]=(I_{k+1}+DX)\beta=\beta. \]这里又用到了\(\mu\)的条件零均值性。由于\(\beta\)是未知的，所以\(DX=O\)。此时 \[\begin{aligned} \mathbb{D}(\hat\beta^*)=&\mathbb{D}(\hat\beta+DY)\\ =&\mathbb{D}(\hat\beta)+\mathbb{D}(DY)+2{\rm COV}(\hat\beta,DY)\\ =&\mathbb{D}(\hat\beta)+\mathbb{D}(DY)+2(X'X)^{-1}X'\mathbb{D}(Y)D'\\ \stackrel{*}=&\mathbb{D}(\hat\beta)+\mathbb{D}(D\mu)+2\sigma^2(X'X)^{-1}(DX)'\\ =&\mathbb{D}(\hat\beta)+\mathbb{D}(D\mu). \end{aligned} \]注意到星号步骤运用了\(\mathbb{D}(\mu)=\sigma^2I_n\)。由自协方差矩阵的非负定性，有\(\mathbb{D}(\hat\beta^*)\ge \mathbb{D}(\hat\beta)\)，这就证明了\(\hat\beta\)是有效的。可以看出，关于随机误差项的假设在\(\hat\beta\)的得出，以及BLUE性的证明上具有重要作用。如果这些假设不成立，会怎样呢？ 2、放宽经典假设不幸的是，在实际模型中，有些假设是不成立的。书上列举了一些违背基本假定的情形： 解释变量之间存在严重多重共线性。 随机干扰项序列存在异方差性。 解释变量具有内生性。 模型有设定偏误。 随机干扰项具有序列相关性。由于我们回顾了\(\hat\beta\)的来源以及BLUE性的证明，以下讨论也变得比较简单。接下来的内容大多是课本内容的提炼，可作复习用。 多重共线性多重共线性定义：对于模型 \[Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\beta_2X_{i2}+\cdots+\beta_kX_{ik}+\mu_i, \]如果某两个或多个解释变量之间出现相关性，则称为存在多重共线性。具体还可以分为完全共线性与近似共线性。 如果某一个变量能完全由其他解释变量线性表示，则称为存在完全共线性，此时\(r(X) |
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