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확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.[1][2][3][4] 정의[편집]보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다. 확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 ( A i ) i = 1 ∞ ⊂ F {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음이 성립한다. (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ( A i ) ∑ i = 1 ∞ Pr ( A i ) = E ( N ) ≥ ∞ ⋅ Pr ( N = ∞ ) = ∞ ⋅ Pr ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) {\displaystyle \infty >\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\operatorname {E} (N)\geq \infty \cdot \operatorname {Pr} (N=\infty )=\infty \cdot \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}따라서 Pr ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0}이다. 제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명: 미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다. 1 − x ≤ exp ( − x ) {\displaystyle 1-x\leq \exp(-x)}이 부등식과 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} 의 독립성에 따라, 임의의 n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } 에 대하여 다음이 성립한다. Pr ( ⋂ i = n ∞ ( Ω ∖ A i ) ) = lim m → ∞ Pr ( ⋂ i = n m ( Ω ∖ A i ) ) = lim m → ∞ ∏ i = n m ( 1 − Pr ( A i ) ) ≤ lim m → ∞ ∏ i = n m exp ( − Pr ( A i ) ) = lim m → ∞ exp ( − ∑ i = n m Pr ( A i ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)&=\lim _{m\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{m}(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=\lim _{m\to \infty }\prod _{i=n}^{m}(1-\operatorname {Pr} (A_{i}))\\&\leq \lim _{m\to \infty }\prod _{i=n}^{m}\exp(-\operatorname {Pr} (A_{i}))\\&=\lim _{m\to \infty }\exp \left(-\sum _{i=n}^{m}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)\\&=0\end{aligned}}}따라서 다음이 성립한다. Pr ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) = 1 − Pr ( ⋃ n = 1 ∞ ⋂ i = n ∞ ( Ω ∖ A i ) ) = 1 − lim n → ∞ Pr ( ⋂ i = n ∞ ( Ω ∖ A i ) ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)&=1-\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=1-\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=1\end{aligned}}} 일반화[편집]제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다. 코첸-스톤 부등식[편집]확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 ( A i ) i = 1 ∞ ⊂ F {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}} 에 대하여, L = lim inf n → ∞ ∑ i , j = 1 n Pr ( A i ∩ A j ) ( ∑ i = 1 n Pr ( A i ) ) 2 {\displaystyle L=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{i,j=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j})}{\left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)^{2}}}}라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2] L ≥ 1 {\displaystyle L\geq 1} 만약 ∑ i = 1 ∞ Pr ( A i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty } 라면, Pr ( ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i ) ≥ 1 / L {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1/L} 이다. 특히, 만약 L |
속 사건의 열
(
A
i
)
i
=
1
∞
⊂
F
{\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}
에 대하여, 다음이 성립한다.
의 독립성에 따라, 임의의
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\dots }
에 대하여 다음이 성립한다.
일반화[편집]
만약
∑
i
=
1
∞
Pr
(
A
i
)
=
∞
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty }
라면,
Pr
(
⋂
n
=
1
∞
⋃
i
=
n
∞
A
i
)
≥
1
/
L
{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1/L}
이다.
특히, 만약
L
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