构造法

构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些

特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。

例

5 

99

99

和

99

！能否表示成为

99

个连续的奇自然数之和？

解：

99

99

能。因为

99

99

等于

99

个

99

98

之和，所以可以直接构造如下：

9999=

（

99

98

-98

）

+

（

99

98

-96

）

+

…

+ 

=

（

99

98

-2

）

+99

98

+

（

99

98

+2

）

+

…

+ 

=

（

99

98

+96

）

+

（

99

98

+98

）。

99

！不能。因为

99

！为偶数，而

99

个奇数之和为奇数，所以

99

！不能表示为

99

个连

续奇数之和。

说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。

例

6 

从

1

，

2

，

3

，…，

999

这

999

个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每

一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？

解：

我们可划去

2

，

3

，…，

30

，

31

这

30

个数，因为划去了上述这

30

个数之后，余

下的数中，除

1

以外的任何两个数之积将大于

32

2

=1024

＞

999

。

另一方面，可以通过构造三元数组来证明

30

是最少的个数。

（

2

，

61

，

2

×

61

），（

3

，

60

，

3

×

60

），（

4

，

59

，

4

×

59

），…，

（

30

，

33

，

30

×

33

），（

31

，

32

，

31

×

32

）。

上面写出的这些数都是互不相同的，

并且这些数中的最大数为

 31

×

32=992

。

如果划去

的数少于

30

个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，

30

是最

少的个数。

配对法

配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计

数）。传说高斯

8

岁时求和（

1+2+

…

+100

）首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，

常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。

例

7 

求

1

，

2

，

3

，…，

9999998

，

9999999

这

9999999

个数中所有数码的和。