中学数学里，“|a-b|”表示a与b的差的“绝对值”，它的结果总是一个非负数：

（1）当a≥b时，|a-b|=a-b；

（2）当a＜b时，|a-b|=-(a-b).

【注】这里的a、b是任意实数。

一、绝对值的概念和几何意义

“|a|”读作“绝对值a”或“实数a的绝对值”。

【绝对值的概念】对于一个实数a来说，“|a|”指的是在数轴上，实数“a”对应的点到数轴上的原点“O”间的距离。

从绝对值的概念我们可以得到，绝对值是一种“距离”——这也是绝对值的几何意义。因为“距离”不可能是负值，所以，“|a|”、“|a+b|”、“|a-b|”的结果永远是一个非负数。

根据绝对值的概念和几何意义我们容易得到：

（1）当“a>0”时，|a|=a；

（2）当“a=0”时，|a|=0；

（3）当“a

通常，我们把上面的三种情况简化为下面的两种情况：

（1）当“a≥0”时，|a|=a；（2）当“a

上面两种情况可以用语言表述为：“非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数”。

【注】（1）“非负数”包括正数和0.（2）当且仅当“a=0”时，|a|=0。

【例题】化简、求值。

（1）|0|=0；（2）|1|=1；（3）|-1|=-(-1)=1；（4）|2|=2；（5）|-2|=-(-2)=2.

二、两个实数的和或差的绝对值

1、两个实数和的绝对值“|a+b|”

两个实数a、b的和“a+b”还是一个实数。不妨设实数c=a+b，则有|a+b|=|c|。

根据前面“一、绝对值的概念和几何意义”中的“（★）”式，我们有：

（1）当“c≥0”时，|c|=c；（2）当“c

因为“c=a+b”，所以，用“a+b”替换“c”后得到如下结论：

（1）当“a+b≥0”时，|a+b|=a+b；

（2）当“a+b

例1.|3+(-2)|

解：因为“3+(-2)>0”，所以，|3+(-2)|=3+(-2)=3-2=1.

【注】也可以：|3+(-2)|=|3-2|=|1|=1.

例2.|2+(-3)|

解：因为“2+(-3)

【注】也可以：|2+(-3)|=|2-3|=|-1|=1。

2、两个实数差的绝对值“|a-b|”

两个实数a、b的差“a-b”，还是一个实数。不妨设实数d=a-b，则有|a-b|=|d|。

根据前面“一、绝对值的概念和几何意义”中的“（★）”式，我们有：

（1）当“d≥0”时，|d|=d；（2）当“d

因为“d=a-b”，所以，用“a-b”替换“d”后得到如下结论：

（1）当“a-b≥0”时，|a-b|=a-b；

（2）当“a-b

例1.|3-2|

解：因为“3-2>0”，所以，|3-2|=3-2=1.

【注】也可以：|3-2|=|1|=1.

例2.|2-3|

解：因为“2-3

【注】也可以：|2-3|=|-1|=1.

从上面的两个例题容易发现，“|a-b|=|b-a|”、“两个不相等的实数的差的绝对值，等于二者中较大的数减去较小的数”。

三、中学数学里常用的绝对值性质

1、当且仅当a=0时，|a|=0；

2、（绝对值的非负性）任何一个实数的绝对值非负，即：|a|≥0；

【注】正数和0的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于它的相反数。

3、互为相反数的两个数的绝对值相等，即：|-a|=|a|，|a-b|=|b-a|；

【注】也可表述为：除0外，绝对值相等的实数有两个，并且这两个实数之间差一个“负号”（互为相反数）。

4、（平方关系）任意一个实数的平方都等于其绝对值的平方，即：a的平方=|a|的平方；

5、|a×b|=|a|×|b|，|a÷b|=|a|÷|b|.（除数不为0）

6、（绝对值三角不等式）|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；

【注】（1）上面两式可以合并成：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，（2）进一步地有：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

7、（1）当ab>0，即a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|，|a-b|=||a|-|b||；

（2）当ab

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发布于：福建