恒星的能源来自热核反应，$\Delta E=\Delta mc^2$。

核反应

正反应与逆反应平衡时，称处于核统计平衡。释放核能

原子核$I$形成前，$A_i$个相距无穷远的核子的质量为$A_im_H$，$Q_{ijk}$可以写为：

对原子核$I$，定义质量过剩

其物理意义是自由核子结合成原子核吸收的能量。从而

又由于核反应前后核子数守恒，第二项为零，故

单位时间、单位体积的产能

由

得到单位质量气体核产能率

考虑所有核反应，总核产能率

注意核反应有一部分能量被中微子带走，但中微子几乎不参与恒星内部的物理过程，故需要将其扣除。产能率

自由核子结合形成原子核$I(A,Z)$释放能量$\Delta \epsilon$，定义该原子核的结合能为

即平均每个核子释放的能量。结合能越大，原子核越稳定。由结合能曲线，${}^{56}\mathrm{Fe}$有最大的结合能，原子核最稳定。更重的核裂变和更轻的核聚变都能自发进行，释放能量。恒星聚变形成铁核后，核反应终止，经历超新星爆炸后一部分铁碎裂飞出，形成ISM。

氢原子要发生核聚变，需要靠近到强核力起作用的距离内($r\le 10^{-15}\mathrm{m}$)。

原子热运动动能$E_k\sim \frac{3}{2}kT\sim 1\mathrm{keV}$，而库伦势能$E_c\sim 10^3\mathrm{keV}$，故热运动无法突破库伦势垒产生核聚变。

考虑量子隧穿效应。发生量子隧穿的概率

其中$v$为原子相对运动的速率。从而反应截面$S\propto P\mathrm{d}n(v)$，其中$n(v)$是速度在$v\sim v+\mathrm{d}v$之间的粒子的数密度。对处于热平衡态的气体，由麦克斯韦分布，

从而反应率

$R_{ijk}$存在极大值，在$v=v_p$处，称为Gamov峰。

峰值反应率

另外，$I$和$J$原子发生核反应会有短暂的中间态：

$(I+J)^*$是处于量子共振态的复合核。这一效应也可以提高核反应率。

$\tau_i$为$I$元素在$I$于$J$发生核反应被消耗的特征时标。

单位时间、单位体积内$n_jR_{ijk}$个$J$原子核和$I$原子核发生了核反应。其倒数就是消耗一个$I$原子核的特征时间。

$R_{ijk}$十分依赖温度，发生核反应需要大于某一点火温度。

对核产能率$q$，有经验关系

对不同的核反应有不同的$n$。

大致的反应路线为

（中间核的衰变称为$\beta^+$衰变）

具体反应过程为：

净效果为

产能

产能率

远大于化学反应，仅次于黑洞吸积释能（史瓦西黑洞$\epsilon\sim15\%$，克尔黑洞$\epsilon\sim42\%$）。

pp-II和pp-III的第一步反应相同，且都需要pp-I先进行：

pp-II分支：

pp-III分支：

整个pp链的反应如图：

讨论：

两个并列的循环，有C、N、O元素参与（上一代超新星增丰），类似催化效果。两个独立的循环：

净反应都为

讨论：

恒星氢燃料耗尽后，会收缩释放引力势能，点燃氦聚变。

两个氦核会发生反应

${}_4^8Be$的寿命很短，在$10^{-16}\mathrm{s}$内就会衰变成两个氦核（逆反应），反应无法进行下去。

在$T\ge 10^8\mathrm{K}$时，且$n_{^8\mathrm{Be}}/n_{^4\mathrm{He}}\sim 10^{-9}$时，正反应可以为主导反应。此时一部分${}^8\mathrm{Be}$可以进一步反应：

其中${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C}^*$是激发量子共振态，后一个反应就是量子共振态的退激发。

总反应为：

称为 $3\alpha$过程。

一次反应释能

产能率

约为pp链的十分之一。

核产能率的经验公式

对温度依赖敏感。

${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C}$还可以进一步俘获$\alpha$粒子：

${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O}$的库伦势垒已经很大，难以进一步俘获$\alpha$粒子进行反应。从而${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O}$可以在恒星中累积。

氦耗尽后，恒星进一步收缩升温，可以触发碳和氧的燃烧。

碳燃烧：

${}_{12}^{24}\mathrm{Mg}$可能发生如下几种衰变：

四种衰变路径概率相当，并行进行。一次反应$Q\sim 13\mathrm{MeV}$，$\epsilon\sim 5.2\times 10^{17}\mathrm{erg/g}$（略低于$\epsilon_{3\alpha}$）。

氧燃烧：

${}_{16}^{32}\mathrm{S}$可能发生以下几种衰变：

四种衰变路径并行进行。一次反应$Q\sim 13\mathrm{MeV}$，$\epsilon\sim 4.8\times 10^{17}\mathrm{erg/g}$。

讨论：