层次分析法(AHP)详解+完整代码 |
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层次分析法(AHP)
1.算法简述与原理分析
层次分析法是一种主观赋值评价方法也是一个多指标综合评价算法,常用于综合评价类模型。层次分析法将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等多个层次,并在此基础上进行定性和定量分析,是一种简单、实用的算法。 原理:是在分析一个现象或问题之前,首先将现象或问题根据他们的性质分解为相关因素,并依据因素之间的关系形成一个多层次的结构模型。然后通过经验或专家来判断低层元素对高层元素的相对重要性,并根据重要性的程度得出权重排序。 2.AHP层次分析法过程层次分析法进行建模,大致分为以下四步: 1.分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构。 2.对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较,构造两两比 较矩阵(判断矩阵)。 3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验(检验通过权重才能用)。 4.填充权重矩阵,根据矩阵计算得分,得出结果。 即将所有相关因素分为目标层、准则层和方案层 即把准则层的指标进行两两判断,确定各准则层对目标层的权重 对于准则层A我们可以构建: q其中A中的元素满足: w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………(2) wi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij,(i=1,2,…,n)……………(2) 矩阵里面写什么简单来说就是假如有三个元素A、B、C,A和B相比A重要多少,A比C中要多少,B比C中要多少,这个“多少”我们通常使用Santy的1-9标度方法给出,即: 大白话说一下,就是求解各个指标的权重。计算方法有三种:算数平均法、几何平均法和特征值法。(小tips:在实际建模中,不同的计算方法可能会导致结果有所偏差,为了保证结果的稳健性,可以采用多种方法分别对权值进行求解,避免单一方法所需产生的误差,使得出的结论更全面有效。) 举个栗子,这是一个判断矩阵。 Step1:将判断矩阵按照列归一化(每个元素除以其所在列的和,如1/(1+1/2+1/4)=0.5882) Step2:将归一化的列相加(按行求和) Step3:将相加后的每个元素除以n即可得到对应的权重向量 转换为数学公式就是: w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………(2) wi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij,(i=1,2,…,n)……………(2) 2.3.2方法2:几何平均法求权重(又叫方根法)举个栗子: Step1:计算每行乘积的m次方,得到一个m维向量 景色: 1 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 1 3 ∗ 8 5 = 2.3162 \sqrt[5]{{1*5*5*\frac{1}{3}*8}} = 2.3162 51∗5∗5∗31∗8 =2.3162 费用: 1 5 ∗ 1 ∗ 1 4 ∗ 1 6 ∗ 2 5 = 0.4409 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*1*\frac{1}{4}*\frac{1}{6}*2}} = 0.4409 551∗1∗41∗61∗2 =0.4409 居住: 1 5 ∗ 4 ∗ 1 ∗ 1 5 ∗ 3 5 = 0.8635 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*4*1*\frac{1}{5}*3}} = 0.8635 551∗4∗1∗51∗3 =0.8635 饮食: 3 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 1 ∗ 6 5 = 3.5195 \sqrt[5]{{3*6*5*1*6}} = 3.5195 53∗6∗5∗1∗6 =3.5195 旅途: 1 8 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ 1 6 ∗ 1 5 = 0.3222 \sqrt[5]{{\frac{1}{8}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{6}*1}} = 0.3222 581∗21∗31∗61∗1 =0.3222 Step2:把向量标准化即为权重向量,即得到权重 设SUM=2.3162+0.4409+0.8635+3.5195+0.3222 则 景色:2.3162/SUM=0.3104 费用:0.4409/SUM=0.0591 居住:0.8635/SUM=0.1157 饮食:3.5195/SUM=0.4716 旅途:0.3222/SUM 转换为数学公式为: w i ‾ = ∏ j = 1 m a i j m … … … … ( 1 ) \overline {{w_i}} = \sqrt[m]{{\prod\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} }}…………(1) wi=mj=1∏maij …………(1) w i = w i ‾ ∑ j = 1 m w j ‾ … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{{\overline {{w_i}} }}{{\sum\nolimits_{j = 1}^m {\overline {{w_j}} } }}…………(2) wi=∑j=1mwjwi…………(2) 2.3.3方法3:特征值法求权重一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0。特征值为n时,对应的特征向量刚好为: k [ 1 a 11 , 1 a 12 , … , 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) k{\left[ {\frac{1}{{{a_{11}}}},\frac{1}{{{a_{12}}}}, \ldots ,\frac{1}{{{a_{1n}}}}} \right]^T}(k \ne 0) k[a111,a121,…,a1n1]T(k=0) 那么我们直接可以将特征向量归一化即可求得权重向量。 2.4一致性检验 2.4.1求解最大特征值求得权重矩阵后,可以计算最大特征跟,公式为: λ max = 1 n ∑ i = 1 n ( A W ) i W i {\lambda _{\max }} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{(AW)}_i}}}{{{W_i}}}} λmax=n1i=1∑nWi(AW)i 其中n为维度数,例如之前我们举得例子因素为景色、费用、居住、饮食、旅途时,n=5。AW为:判断矩阵*标准化后的权重,然后按行的累加值。 还是举个栗子: 判断矩阵A为: 标准化权重W为: 其中A*W为:(就是对应位置相乘) AW的值就是按行相加。 则最大特征值为: λ max = x / n = 5.416 {\lambda _{\max }} = x/n = 5.416 λmax=x/n=5.416 其中,x=AW1/W1+AW2/W2+…+AWn/Wn。n为矩阵阶数。 2.4.2求解CI、RI、CR值,判断一致性是否通过Step1:一致性指标CI值的求解公式为: C I = λ max − n n − 1 CI = \frac{{{\lambda _{\max }} - n}}{{n - 1}} CI=n−1λmax−n 将2.4.1的例子代入可得CI=0.1042 Step2:平均随机一致性指标RI值是通过查表得出来的: 将2.4.1的例子代入可得RI=1.12 Step3:计算一致性比例CR: C R = C I / R I CR=CI/RI CR=CI/RI 将Step1和Step2的计算结果代入可得CR=0.093 Step4:判断是否通过一致性检验: CR |
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