令 r = r a n k A r=rank A r=rankA ，因为零空间秩为 n − r n-r n−r ，零空间是矩阵行空间的正交补空间，矩阵 A T A^T AT 列空间就是矩阵 A A A 行空间，故 r a n k A T = n − r a n k ( n u l l A ) = r rank A^T = n-rank (null A) = r rankAT=n−rank(nullA)=r 。

方程 A T A x = 0 A^TA\mathbf{x}=\mathbf{0} ATAx=0 和 A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} Ax=0 是同解方程。证明如下：如果向量 x \mathbf{x} x是方程 A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} Ax=0 解，则显然是方程 A T A x = 0 A^TA\mathbf{x}=\mathbf{0} ATAx=0 解。如果向量 x \mathbf{x} x是方程 A T A x = 0 A^TA\mathbf{x}=\mathbf{0} ATAx=0 解，则 x T A T A x = x T 0 = 0 \mathbf{x^T}A^TA\mathbf{x}=\mathbf{x^T}\mathbf{0}=0 xTATAx=xT0=0 得 ( A x ) T ( A x ) = 0 (A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})=0 (Ax)T(Ax)=0 得 ∥ A x ∥ = 0 \|A\mathbf{x}\|=0 ∥Ax∥=0 故 A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} Ax=0 ，两个方程同解，则 r a n k A = r a n k A T A rank A=rank A^TA rankA=rankATA 。

同理可证 r a n k A T = r a n k ( A T ) T A T = r a n k A A T rank A^T =rank (A^T)^TA^T = rank AA^T rankAT=rank(AT)TAT=rankAAT 。

重要性质 r a n k A = r a n k A T = r a n k A T A = r a n k A A T rank A=rank A^T = rank A^TA=rank AA^T rankA=rankAT=rankATA=rankAAT 。

矩阵相乘，秩会减小，所以 r a n k A T A ≤ r a n k A rank A^TA \leq rank A rankATA≤rankA ，但矩阵 A A A 可以是任意矩阵，不需是列满秩矩阵而 r a n k A T A = r a n k A rank A^TA = rank A rankATA=rankA ，这说明矩阵 A A A 的列向量不位于矩阵 A T A^T AT 零空间，可以证明 A T a i A^T\mathbf{a_i} ATai​ 不可能为零向量。 A T a i = [ a 1 T a i ⋮ a i T a i ⋮ a n T a i ] ≠ 0 A^T\mathbf{a_i} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_i} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{i}}\mathbf{a_i} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_i} \end{matrix} \right] \ne \mathbf{0} ATai​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​a1T​ai​⋮aiT​ai​⋮anT​ai​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​=0 ，因为 a i T a i > 0 \mathbf{a^T_{i}}\mathbf{a_i} > 0 aiT​ai​>0 。

直接得到如下推论。

重要性质 矩阵 A A A 是列满秩矩阵时， r a n k A = n rank A=n rankA=n ， n n n 阶方阵 r a n k A T A = n rank A^TA=n rankATA=n 是可逆矩阵。

重要性质 矩阵 A A A 是列满秩矩阵时，因为 ( A T A ) − 1 A T A = E n (A^TA)^{-1}A^TA=E_n (ATA)−1ATA=En​ ，称矩阵 ( A T A ) − 1 A T (A^TA)^{-1}A^T (ATA)−1AT 是矩阵 A A A 的左逆，记为 A L − 1 A^{-1}_L AL−1​

因为矩阵 A L − 1 A^{-1}_L AL−1​ 左乘矩阵 A A A 等于单位矩阵，故称左逆。

重要性质 矩阵 A A A 是列满秩矩阵时，方程 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b 的解可表示为 x = A L − 1 b \mathbf{x}=A^{-1}_L\mathbf{b} x=AL−1​b ，即著名的最小二乘解。

重要性质 矩阵 A A A 是行满秩矩阵时， r a n k A = m rank A=m rankA=m ， m m m 阶方阵 r a n k A A T = m rank AA^T=m rankAAT=m 是可逆矩阵。

重要性质 矩阵 A A A 是行满秩矩阵时，因为 A A T ( A A T ) − 1 = E m AA^T(AA^T)^{-1}=E_m AAT(AAT)−1=Em​ ，称矩阵 A T ( A A T ) − 1 A^T(AA^T)^{-1} AT(AAT)−1 是矩阵 A A A 的右逆，记为 A R − 1 A^{-1}_R AR−1​

因为矩阵 A R − 1 A^{-1}_R AR−1​ 右乘矩阵 A A A 等于单位矩阵，故称右逆。

重要性质 矩阵 A A A 是行满秩矩阵时，方程 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b 的解可表示为 x = A R − 1 b \mathbf{x}=A^{-1}_R\mathbf{b} x=AR−1​b ，即著名的最小范数解。

当矩阵 A A A 是满秩矩阵时， A − 1 A^{-1} A−1 是矩阵的逆。

读者会猜测，当矩阵 A A A 是行列均不满秩矩阵时，应该也存在“逆”，此“逆”称为伪逆，记为 A + A ^{+} A+ ，方程 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b 的解可表示为 x = A + b \mathbf{x}=A^{+}\mathbf{b} x=A+b ，即著名的最小范数最小二乘解。后面章节会详细解释这些概念。