我们的确可以使用点估计量来估计总体均值、方差或一定比例的精确值，但是我们始终无法确定我们使用的样本一定是无偏样本，因此我们考虑使用置信区间的方法来估计总体统计量，因为它是考虑了不确定性的方法。

糖果公司用一个包含100粒糖球的样本得出口味持续时间均值的点估计量为62.7分钟，于是便在电视节目黄金时段宣布其公司糖球口味的平均持续时间为62.7分钟，但有人自行做了测试，得出了不同的结果，威胁要起诉糖果公司。 此时，我们应该制定的是总体均值的估计值的区间范围，而不是一个精确值，因为这样的话会给予我们更大的误差空间，就不容易被人起诉了。

在问题中，需要为糖球口味持续时间的均值来构建区间，于是需要为总体均值 μ \mu μ来构建一个置信区间。

为了求出总体均值的抽样分布，我们需要先计算出 X ‾ \overline X X的期望、方差和分布。而这些在上一节中已经计算过了。 此时一个问题是我们现在并不知道总体的方差是多少，但是我们可以借用点估计法 μ ^ \hat{\mu} μ^​ 或 s 2 s^2 s2 来近似替代，因为这已经是我们目前所具有的数据中可以得到的最近似的值了。公式进一步推导成如下形式。 对于样本均值的分布，我们可以根据"若X符合正态分布，那么 X ‾ \overline X X也符合正态分布"的定理来得知，其应符合正态分布。在本题中即是 X ‾ ∼ N ( μ , s 2 n ) \overline X \thicksim N(\mu,\frac{s^2}{n}) X∼N(μ,ns2​)。

置信水平表明你希望自己对于“总体统计量落入置信区间”的这一说法有多大的把握，比如我们希望总体均值的执行水平为95%，这表明总体均值处于置信区间的概率为0.95，当然可以更高如99%，这样糖果公司就可以更有信心在广告宣称“总体均值位于这个置信区间”这一说法。 值得注意的是，置信水平越高，区间越宽，也就是确定的概率越大，范围越广，也越对说法有把握。 为了防止说法几乎毫无意义，我们需要确定一个合适的置信水平，确保范围小而可靠，对此，我们一般采用95%作为常用置信水平。

根据抽样分布和选择好的置信水平来求出置信上下限，从而确定置信区间的范围。 此时我们再将 X ‾ \overline X X进行标准化，从而利用正态分布表来查出其对应的区间值。 此时我们将括号里面的不等式进行展开，即可确定置信区间范围，其中 X ‾ \overline X X可以通过样本 x ‾ \overline x x来计算。 得出最后结果。

糖果公司想求出糖球重量的置信区间，但只抽取了少量的样本，比如抽取了一个具有代表性的样本，共10颗，然后称了每一粒糖球的重量，计算出这个样本的 X ‾ \overline X X=0.5， s 2 s^2 s2=0.09，此时该如何求出其置信区间。

我们需要为糖球重量均值构建一个置信区间，也就是要为总体均值 μ \mu μ构建置信区间。

当总体符合正态分布， δ 2 \delta^2 δ2未知，且可供支配的样本很小时， X ‾ \overline X X符合T分布。而当样本数量为n个时，T分布的形式为 T ∼ t ( n − 1 ) T\thicksim t(n-1) T∼t(n−1)，而 T = X ‾ − u s / n T=\frac{\overline X - u}{s/\sqrt{n}} T=s/n ​X−u​，也就是说在这道题中 T = X ‾ − u s / n ∼ t ( 9 ) T=\frac{\overline X - u}{s/\sqrt{n}} \thicksim t(9) T=s/n ​X−u​∼t(9)。

一般设置为95%。

再利用T分布概率表可求出 P ( T > t ) = p P(T>t)=p P(T>t)=p中的t值，在这道题中p=0.025。