SPI(Standardized Precipitation Index)标准降水指数 |
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1.SPI原理概述
SPI计算原理是将某时间尺度(如1、3、6、12个月等)降水量的连续时间序列(最好是长期记录,一般最少30年)看作服从某种概率密度函数分布(如gamma分布),然后推导出相应的累积概率函数,再通过累积概率函数转换为标准正态分布。转换之后,某时间尺度样本的SPI为:该样本降水量的累积概率所对应的标准正态分布的x轴的值。 例如:以3个月为时间尺度,使用1981-2010年30年的降水数据。计算2010年1月的SPI值。因为时间尺度是3个月,所以2010年1月的累积降水量被定义为2009年11月-2010年1月期间的总降水量,记作P;使用的时间序列为往年同期的降水量数据,即各年11月-1月的降水。首先按照原理,将时间序列数据假设为满足gamma分布g(x),然后推导其累积概率函数H(x),再转换为标准正态分布。然后,查找P对应的累积概率H(P),然后查找与H(P)相同累积概率的标准正态分布所对应的x轴的值,即为SPI。示意图如下,左图为累积概率H(x),右图为转换之后的标准正态分布。 通俗来说,是描述变量落在某点(x=x0)上的概率,变量落在某区间(x1(∗)中的 x 替换为βt,则有下式成立: 于是得到Gamma分布的一般形式,概率密度函数为: Thom(1966)发现gamma分布(一种概率密度函数)很适合气候降水的频率时序特征,如下图所示。(首先解释为什么使用gamma分布) SPI中gamma分布定义: 在定义完gamma分布函数之后,需要求解其中的α形状参数和β尺寸参数,使用Thom(1966)提出的最大似然法来估算最佳的α与β值。 式中,x为降水时间序列的样本值,x¯为降水序列的平均值,n为时间序列的长度。 2.3构建降水累积概率函数H(x)将上一步求得的α、β参数代入,则降水量x>0的累积概率函数G(x)为g(x)的积分: 令t=x/β,则该等式变为: 因为gamma函数没有定义x>0,但实际降水可能为0(x=0),所以实际降水累积概率函数为: 其中,q为降水量为0的概率,设m为降水时间序列中降水量为0的个数,则q=m/n。 至此,得到了降水的累积概率函数H(x)。其意义为:任选时间序列中的某样本数据,其降水量在(0,x)之间的概率为H(x)。 2.4H(x)等概率变换为标准正态分布函数这一步是通过累积概率函数的等概率变换,建立了gamma分布与标准正态分布之间的转换关系,从而确定降水量与SPI之间的关系。 等概率变换即变量从一种分布(如gamma)转变为另一种分布(如标准正态分布),变换前后对应变量在两种分布中小于某个值的累积概率是不变的。 如Fig3.2所示,通过累积概率H(x)与转换后的标准正态分布的x轴上获取对应的SPI值。为更加方便的获取SPI(通过转化之后的图像获取太过繁琐),使用Abramowitz and Stegun (1965)提出的近似方法,求解概率密度H(x)与标准正态分布SPI的关系(实质是建立降水量x与SPI的关系,即概率密度分布变换中的y=h(x)关系): 其中,c0 = 2.515517, c1 = 0.802853, c2 = 0.010328, d1 = 1.432788, d2 = 0.189269, d3 = 0.001308 2.5SPI与Z-scoreSPI被认为是一种z分数(z-score),因为对于转化后的标准正态分布,其μ=0,σ=1,带入z-score=(x-μ)/σ=SPI。z-score的实际意义为测量样本数据与样本总体均值相差多少个标准差;所以,SPI可被解释观测降水量为与长期降水均值偏离的标准差个数。 3.SPI应用标准化降水指数(SPI)是一个广泛使用的指数,用于描述一系列时间尺度上的气象干旱的特征。在短的时间尺度上,SPI与土壤水分密切相关,而在长的时间尺度上,SPI可以与地下水和水库储存有关。SPI可以在气候明显不同的地区进行比较。 SPI原理: Edwards D C . Characteristics of 20th Century Drought in the United States at Multiple Time Scales. , 1997. https://www.doc88.com/p-9798233006864.html?r=1 https://max.book118.com/html/2017/0309/94893982.shtm z-score: https://blog.csdn.net/qq_39482438/article/details/110873346 概率密度分布变换: https://blog.csdn.net/bingfeiqiji/article/details/81908948 https://zhuanlan.zhihu.com/p/191487550 程序: https://climate-indices.readthedocs.io/en/latest/
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