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近年来，由于PB-ROE选股模型具有较好的投资效果，引起了A股市场投资者较多关注。但市场对模型的关注大多集中在选股方法上，而对PB-ROE模型的理论基础及其适用性的讨论较少。

Wilcox(1984)将PB-ROE体系视为估值模型，严格论证了两个指标之间的数学关系。本文中我们回顾了Wilcox的主要观点，并对PB-ROE体系的内涵和推导过程做了更为清晰的分析；同时我们也分析了PB-ROE模型在A股市场上的适用性，并回测了基于PB-ROE预期差方法的股票组合走势，取得了较好效果。

1.PB-ROE模型的数学原理

Wilcox(1984)在一些简单的假设条件之下，从数学角度分析了股票价格变动的成因，并严格推导了PB与ROE两个指标之间的关系。

令P为股票价格，B为股票净资产，P/B为市净率，则有:

P=B×P/B，

对等式两边微分，并同时除以P，得到股价变动幅度的表达形式：

令D为分红，gB为净资产增长率，k为投资者期望回报率，则有：

其微分方程形式为：

微分方程的通解为

为了解出C，需要以下2个假设条件：

(1)至投资期末T时，股票的PB将趋向于1；

(2)投资者至投资期末T的期望回报率，即预期ROE，等于净资产增幅与分红收益之和。

并假定分红D=0，可以得到式(1)：

(详细推导过程请参见我们2018/11/26的研究报告)

这样就得到了t时刻PB与预期ROE之间的数学关系。上式说明当其他条件不变时，PB与预期ROE是正向变化关系，Ln(PB)与预期ROE是线性关系，预期ROE越高的股票，投资者会给它更高的PB估值水平，这是高预期ROE公司应享受高估值的理论解释。由于横向对比来看股票的ROE通常较为稳定，也就是当期ROE排名较高的股票在下期仍往往保持较高排名，因此一般可以使用历史ROE作为预期ROE的替代指标。

对于式(1)，当t=0时，可以得到：

上式的含义，是在投资者开始投资的初始时刻0，PB与预期ROE之间的关系，对于k与T两个未知参数，我们可以通过一组给定的股票样本，使用线性回归方法进行估计，并得到一条拟合直线。由于拟合直线反映了Ln(PB)与ROE的合理关系，因此偏离这一直线的点，就是具有更高或更低投资价值的股票。一组股票Ln(PB)与ROE的典型关系，如下图所示：

            图1：股票PB与ROE典型关系

                资料来源：WIND、申万宏源研究

2.PB-ROE模型的行业适用性

投资者比较关心的一个问题是，PB-ROE模型是否只适用于部分行业、是否只适用于特定大小市值风格的股票，在这里我们通过对数据的分析评估模型在行业和市值上的适用性。

当使用PB-ROE模型分析不同行业时，行业之间的投资期限T与期望收益率k两个参数会有较大差异，但理论上股票的Ln(PB)与ROE将呈现如图1所示的线性关系。因此我们可以通过计算不同行业、不同风格股票Ln(PB)与ROE之间的线性拟合程度，来评估PB-ROE模型在这些板块上的适用性，可以认为对Ln(PB)、ROE线性关系拟合更好的行业板块，更适用该模型。

我们在不同行业与板块内对股票的Ln(PB)与ROE做线性回归，并计算回归方程的MSE，作为拟合效果的度量。MSE是一个相对的衡量指标，MSE越小，说明PB-ROE模型在该行业上的拟合效果越好，该行业越能够被模型所解释，也就是更加适用模型；MSE越大，说明股票数据的实际分布与理论差异越大，模型的适用性越低。

通过分别计算一级、二级行业，以及大、中、小盘股票的MSE，我们发现大部分行业的拟合效果优于全市场股票；随着行业的细分，由于股票的基本面特征趋于一致，PB-ROE模型将更加适用；也发现PB-ROE模型在小盘股上的拟合效果优于中盘股，更明显优于大盘股。

图2：申万二级行业的拟合效果(MSE)

资料来源：WIND、申万宏源研究

3.PB-ROE模型的预期差选股

在PB-ROE模型中，一组股票的Ln(PB)与预期ROE在理论上存在线性关系，对这组股票做线性回归得到回归直线后，回归直线就反映了全市场对这组股票PB与预期ROE分布特征的整体观点。

具体来说，给定一只股票的PB值，在回归直线上所对应的ROE就是市场对该PB水平所对应合理ROE的观点。如果投资者对这只股票ROE有自己的预期观点，并且自身预期ROE高于市场观点，则说明这只股票在自身预期下具有投资价值。理论上投资者对股票未来ROE的预期越准确，则投资效果越好。投资者对ROE的预期数据可以有不同来源，基本面投资者可以通过盈利预测来确定预期ROE，我们在量化回测中则使用分析师一致预期数据。

在图3中，红色的点代表投资者对股票ROE的预期观点，如果投资者的预期ROE出现在回归线的右侧，说明投资者自身预期相对于市场预期存在正向预期差，可以将这只股票作为买入标的。

图3：预期差选股方法

资料来源：申万宏源研究

除了使用预期数据外，我们在计算回归线外的点与回归线的距离时，也可以直接使用股票当前的历史ROE数据。这时是预期差选股的特殊形式，认为股票当前ROE会在未来继续保持稳定，历史数据可以作为预期数据的替代。

计算投资者自身的预期点与回归直线上点的距离后，可以将其作为投资者与市场对ROE观点差异幅度的量化度量，因此可以将这一距离作为控制变量，选择距离较远的股票、即有高预期差的股票。

4.PB-ROE预期差选股回测

我们按照股票市值大小不同，将选股的样本空间划分为大盘、中盘、小盘3个部分，在不同的样本空间内选股，将选股组合走势分别与沪深300、中证500、中证1000指数对比。

我们分别使用分析师一致预期数据和历史数据进行选股测试，选择正向预期差高的股票，选股频率为月度。计算组合走势时大盘组合使用自由流通市值加权、中盘与小盘组合使用等权方式。结果显示，大盘组合、小盘组合都有较稳定的超额收益，小盘组合超额收益更为明显，但中盘组合对中证500的超额收益并不稳定。

我们这里简要列出使用预期数据的小盘组合与使用历史数据的大盘组合走势，更多详细信息请参见我们2018/11/26的研究报告。

图4：预期ROE小盘组合

资料来源：申万宏源研究

图5：历史ROE大盘组合

资料来源：申万宏源研究

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