1、数二基本知识点Deran Pan1目录第一章极限4一、定理4二、重要极限4三、等价无穷小4六、积分和求极限4四、佩亚诺余项泰勒展开4第二章一元函数微分5一、函数微分5二、微分运算法则5三、基本微分公式5四、变限积分求导5五、N阶导数5六、参数方程导数5七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则5八、反函数的一阶、二阶求导5九、单调、极值、凹凸、拐点5十、渐近线5十一、曲率6十三、泰勒定理6十四、极限与无穷小的关系6十五、附6第三章一元函数积分7一、定理7二、基本积分公式7三、基本积分方法7四、一个重要的反常积分7五、定积分的应用7第四章多元函数微分8一、如果limxx0yy0fx,y存在，则fx,y

2、在该点连续8二、求重极限方法8三、可微性讨论8四、复合函数微分8五、高阶偏导8六、隐函数求导8七、二元函数极值的充分条件8八、条件极值、拉格朗日乘数法8九、二重积分8十、柯西积分不等式10第五章常微分方程11一、一阶微分方程11二、可降阶的高阶微分方程11三、高阶常系数微分方程11第一章行列式12一、余子式&代数余子式12二、几个重要公式12三、抽象n阶方阵行列式公式12第二章矩阵12一、运算规则12二、特殊矩阵12三、可逆矩阵12四、秩13第三章向量13一、线性表出、线性相关、极大线性无关组13二、施密特正交化13三、正交矩阵13第四章线性方程组14一、克拉默法则14二、齐次线性方程

3、组、基础解系14三、非齐次线性方程组、通解结构14第五章特征值、特征向量、相似矩阵14一、特征值、特征向量14二、相似矩阵14三、实对称矩阵15四、矩阵、特征值、特征向量15五、判断A是否相似于对角15第六章二次型15一、二次型15二、标准型15三、规范型15四、化二次型为标准型，规范型15五、合同16六、惯性定理16七、实对称矩阵A、B合同的充要条件16八、正定16九、正定阵性质16后记17第一章 极限一、 定理夹逼定理，单调有界定理二、 重要极限1.limx0sinxx=12.limx01+x1x=e3.limnnn=14.limx0+xIn xk=05.limxxke-x=1三、 等价无

4、穷小当 x0时：1、 sinxx、2、 tanxx、3、 1-cosx12x24、 ex-1x5、 In 1+xx6、 1+x-1x7、 arcsinxx8、 arctanxx9、 x-1xIn10、 xm+xkxm，(k>m>0)一、二、三、四、五、 洛必达法则六、 积分和求极限limnun=limn1ni=1nfin=01fxdx一、二、三、四、 佩亚诺余项泰勒展开1、 ex=1+x+12!x2+1n!xn+Oxn2、 sinx=x-13!x3+-1n2n+1!x2n+1+Ox2n+23、 cosx=1-12!x2+-1n2n!x2n+Ox2n+14、 In 1+x=x-x22

5、+x33+-1n-1xnn+Oxn5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+m×m-1××m-n+1n!xn+Oxn第二章 一元函数微分一、 函数微分dy=Ax+ox=Adx+ox二、 微分运算法则1、 u±v'=u'±v'2、 uv'=u'v+uv'3、 Cu'=Cu'4、 uv'=u'v-uv'v2三、 基本微分公式1、 C'=02、 x'=x-13、 x'=xIn4、 ex'=ex5、 logx'=1xIna6

6、、 cosx'=-sinx7、 sinx'=cosx8、 cotx'=-cscx29、 tanx'=secx210、 secx'=secxtanx11、 cscx'=-cscxcotx12、 arcsinx'=11-x213、 arccosx'=-11-x214、 arctanx'=11+x215、 arccotx'=-11+x2四、 变限积分求导1x2xftdt' =f2x2'x-f1x1'x五、 N阶导数1、 u±vn=un±vn2、 uvn=unv+Cn1un-1v

7、1+Cnkun-kvk+uvn六、 参数方程导数yx'=yt'xt'yxx''=yx't'xt'=xt'ytt''-xtt''yt'xt'3七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则八、 反函数的一阶、二阶求导dxdy=1dydx=1f'x''y=-f''xf'x3九、 单调、极值、凹凸、拐点十、 渐近线水平渐近线：limxfx=b铅直渐近线：limxx0fx=b斜渐近线：limxx0fxx=a，limxx0fx-ax=b十一、 曲

8、率k=|y''|1+y'232R=1k=1+y'232|y''|十二、 定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。十三、 泰勒定理fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnx十四、 极限与无穷小的关系limxx0fx=Afx=A+x，其中limxx0x=0十五、 附麦克劳林公式：fx=f0+f'01!x+f''02!x2+fn0n!xn+Rnxx0=0泰勒公式：fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x0

9、2!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnxn=0拉格朗日余项：Rnx=fn+1n+1!x-x0n+1fx=fx0+f'1x-x0fx-fx0=f'x-x0拉格朗日中值定理n=1佩亚诺余项：Rn=Ox-x0nfx=fx0+f'x01x-x0+Ox-x0fx-fx0=f'x0x-x0+Ox-x0y=f'x0x+Ox-x0增量与微分的关系式第三章 一元函数积分一、 定理1、 定积分存在定理2、 原函数存在定理3、 积分中值定理abfxdx=f'b-a二、 基本积分公式1、 xdx=1+1x+1+C2、 1xdx=Inx+C3、 xdx=xIn+C4

10、、 exdx=ex+C5、 sinxdx=-cosx+C6、 cosx dx=sinx+C7、 tanxdx=-Incosx+C8、 cotxdx=Insinx+C9、 secxdx=Insecx+tanx+C10、 cscxdx=Incscx-cotx+C11、 sec2xdx=tanx+C12、 csc2xdx=-cotx+C13、 12+x2dx=1arctanx+C14、 12-x2dx=12In+x-x+C15、 12-x2dx=arcsinx+C16、 1x2±2dx=Inx+x2±2+C三、 基本积分方法1、 凑微分法2、 换元积分法a) 含a2-x2，命x=

11、asintb) 含x2+a2，命x=atantc) 含x2-a2，命x=asect3、 部分积分法4、 利用被积函数的奇偶性5、 拆项积分四、 一个重要的反常积分-+e-x2dx=20+e-x2dx=五、 定积分的应用1、 平面图形的面积A=aby2x-y1xdxA=cdx2x-x1xdyA=122d2、 平面曲线的弧长S=abx't2+y't2dtS=ab1+y'x2dxS=2+'2d3、 旋转体体积V=aby2xdxV=aby22x-y12xdxV=2abxy2x-y1xdx4、 旋转曲面面积S=2ab|y|1+f2xdxS=2ab|yt|x't2+

12、y't2dt第四章 多元函数微分一、 如果limxx0yy0fx,y存在，则fx,y在该点连续二、 求重极限方法1、 利用极限性质、四则运算、夹逼准则等2、 消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等3、 转化为一元函数求极限4、 利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、 可微性讨论1、 可微a) 考察fx'x0,y0和fy'x0,y0是否都存在。b) 考察limx0y0fx0+x,y0+y-fx0,y0-fx'x0,y0x+fy'x0,y0yx2+y2=0是否成立。2、 可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可微。3、 可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一

13、定可微。四、 复合函数微分1、 一元与多元复合dzdt=dzdududt+dzdvdvdt2、 多元与多元复合zx=zuux+zvvx、zy=zuuy+zvvy3、 全微分形式不变dz=zxdx+zydy =zudu+zvdv五、 高阶偏导2zx2=xzx=fxx''x,y2zxy=yzx=fxy''x,y2zyx=xzy=fyx''x,y2zy2=yzy=fyy''x,yfxy''x,y 与 fyx''x,y 相等，次序无关六、 隐函数求导1、 利用公式a) 一元：dydx=-Fx'Fy&

14、#39;b) 二元：zx=-Fx'Fz'、zy=-Fy'Fz'2、 方程组两端分别求导3、 利用微分形式不变，方程两端求微分七、 二元函数极值的充分条件若 fx'x0,y0=0 以及 fy'x0,y0=0设 A=fxx''x0,y0、B=fxy''x0,y0、C=fyy''x0,y0则：AC-B2>0，取的极值，A>0为极小值，A