如何利用MATLAB进行数据插值？ |
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如何利用MATLAB进行数据插值？
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前言1 引例-零件加工问题2 数据插值的计算机制3 数据插值的实现方法3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题4 应用案例2-机动车刹车距离问题5 应用案例3-沙盘制作问题总结
前言
本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第3、4小结的学习笔记，通过查阅本文，可以轻松掌握利用MATLAB进行数据插值。 E n j o y y o u r r e a d i n g ! Enjoy\ your\ reading! Enjoy your reading! 欢迎大家👍，收藏⭐，转发🚀， 如有问题、建议请您在评论区留言💬。 1 引例-零件加工问题在飞机制造中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大，通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据，求x每改变0.1时y的值。 x035791112131415y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6 x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; x1=0:0.1:15; y1=interp1(x,y,x1,'spline'); plot(x1,y1)
从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法。 x x x x 1 x 2 . . . x k . . . x n x_1 \ x_2 \ ...x_k...x_n x1 x2 ...xk...xn y y y y 1 y 2 . . . y k . . . y n y_1\ y_2\ ...y_k...y_n y1 y2 ...yk...yny = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 它的实质就是用一个近似函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)来逼近未知函数 f ( x ) f(x) f(x)，然后利用这个近似函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)进行插值。 3 数据插值的实现方法数据插值的实现方法 在MATLAB中，一维插值函数为interp1（），其调用格式为： Y1=interp1（X，Y，X1，method） 该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。 method参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种： （1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。 （2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。 （3）pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。 （4）spline：3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。 思考：为什么这两种插值方法都用3次多项式而不用更高次的？ 这里就要提一下龙格现象了,龙格(Runge)发现多项式插值并非次数越高越精确! 四种方法的比较： x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; x1=0:0.1:15; y1=interp1(x,y,x1,'spline'); %3次样条插值 subplot(2,2,1) plot(x1,y1) legend('3次样条插值') hold on y2=interp1(x,y,x1,'linear'); %线性插值 subplot(2,2,2) plot(x1,y2,'r') legend('线性插值') y3=interp1(x,y,x1,'pchip'); %分段3次埃尔米特插值 subplot(2,2,3) plot(x1,y3,'g') legend('分段3次埃尔米特插值') y4=interp1(x,y,x1,'nearest'); %最近点插值 subplot(2,2,4) plot(x1,y4,'b') legend('最近点插值')
在某粮情自动测控系统中，根据粮温、粮湿计算平衡点湿度，与大气湿度进行比较，再根据通风模拟情况决定是否自动进行通风。已测得平衡点湿度与粮温、粮湿关系的部分数据如下表，请推算相应范围内温度每变化1度、湿度每变化1个点的平衡点湿度。 平衡点湿度与粮温、粮湿度关系表 （第一列：粮温，第一行：粮湿，其余：平衡点湿度） 粮温\粮湿203040506070809008.910.3211.312.513.915.317.821.358.710.81112.113.214.816.5520.8108.39.6510.881213.214.616.420.5158.19.410.711.913.114.516.220.3208.19.210.81213.214.816.920.9 x=20:10:90; y=(0:5:20)'; z=[8.9,10.32,11.3,12.5,13.9,15.3,17.8,21.3;8.7,10.8,11,12.1,13.2,14.8,16.55,20.8;8.3,9.65,10.88,12,13.2,14.6,16.4,20.5;8.1,9.4,10.7,11.9,13.1,14.5,16.2,20.3;8.1,9.2,10.8,12,13.2,14.8,16.9,20.9]; xi=20:90; yi=(0:20)'; zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline'); surf(xi,yi,zi)
在车辆行驶中，从驾驶员看到障碍物开始，到作出判断而采取制动措施停车所需的最短距离叫停车视距。停车视距由三部分组成：一是驾驶员反应时间内行驶的距离（即反应距离）；二是开始制动到车辆完全停止所行驶的距离（即制动距离）；三是车辆停止时与障碍物应该保持的安全距离。其中，制动距离主要与行驶速度和路面类型有关。根据测试，某型车辆在潮湿天气于沥青路面行驶时，其行车速度（单位：km/h）与制动距离（单位：m）的关系如下表所示。 速度2030405060708090100110120130140150制动距离3.157.0812.5919.6828.3438.5750.463.7578.7195.22113.29132.93154.12176.87假设驾驶员的反应时间为10s，安全距离为10m。请问： ①根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯，其驾驶时的有效视距为120m，则其在该路面行车时，时速最高不能超过多少（结果取整）？ ②若以表中数据为参考，设计一条最高时速为125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米？ 设速度为 v v v，停车视距为 d d d，反应距离为 d 1 d_1 d1，制动距离为 d 2 d_2 d2，安全距离为 d 3 d_3 d3，反应时间为 a s a_s as，则 d = d 1 + d 2 + d 3 d=d_1+d_2+d_3 d=d1+d2+d3其中， d 1 = a s v d_1=a_sv d1=asv， d 2 d_2 d2为v的函数， d 3 d_3 d3已知。 第一问：根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯，其驾驶时的有效视距为120m，则其在该路面行车时，时速最高不能超过多少（结果取整）？ 已知反应时间为10s，安全距离为10m，可采用解方程方法： 10 v + d 2 + 10 = 120 10v+d_2+10=120 10v+d2+10=120存在的问题是， d 2 d_2 d2是 v v v的函数，但是函数关系未知，方程不可解。 下面考虑数据插值方法，以表格中的数据为样本，进行数据插值，计算出与120m的停车视距所对应的速度指标。 编程思路： 第一步：建立速度和停车视距向量。 第二步：以1为单位，对采样区间内所有速度进行插值，计算出相应的停车视距。 第三步：求出停车视距120所对应的速度。 第四步：绘图展示。 如何根据停车视距120找到对应的速度？ 第一步：令代表停车视距的向量di减去120，再取绝对值，得到一个新的向量x。 第二步：将x按升序排列，并记录最小元素的序号，该序号即为停车视距120所对应的速度数据在向量vi中的序号。 第三步：根据序号取得速度数据。 v=20:10:150; vs=v.*(1000/3600); d1=10.*vs; d2=[3.15,7.08,12.59,19.68,28.34,38.57,50.4,63.75,78.71,95.22,113.29,132.93,154.12,176.87]; d3=10; d=d1+d2+d3; vi=20:1:150; di=interp1(v,d,vi,'spline'); x=abs(di-120); [y,i]=sort(x); vi(i(1)) plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp')
某地面部队分成红蓝两方在指定的陌生区域（平面区域[0，2000]*[0，2000]内，单位：m）进行作战演习。在演习过程中，红方侦查单位已经测得一些地点的高程如下表所示。 y/x02004006008001000120014001600180002000200020011992195419381972199519991999200200020022006190815331381172819591998200040020002005204319219778971310193020032000600199719782009246323741445193122092050200380019921892156619712768211126532610212120071000199118751511155622211986266026012119200712001996195017972057284927982608230320522003140019991999207926853390338427812165201620001600200020022043227126682668227720492003200018002000200020042027206720672027200420002000①根据表中数据，制作军事沙盘。 ②在演习范围内，占领最大高地的一方将获得居高临下的优势。请问红方应第一时间抢占哪块区域。 解题思路： 第一问：用二维插值估算数据，以方便制作军事沙盘。 第二问：在插值的基础上，绘制等高线图，找到最大高地。 x=0:200:1800; y=x'; z=[2000,2000,2001,1992,1954,1938,1972,1995,1999,1999; 2000,2002,2006,1908,1533,1381,1728,1959,1998,2000; 2000,2005,2043,1921,977,897,1310,1930,2003,2000; 1997,1978,2009,2463,2374,1445,1931,2209,2050,2003; 1992,1892,1566,1971,2768,2111,2653,2610,2121,2007; 1991,1875,1511,1556,2221,1986,2660,2601,2119,2007; 1996,1950,1797,2057,2849,2798,2608,2303,2052,2003; 1999,1999,2079,2685,3390,3384,2781,2165,2016,2000; 2000,2002,2043,2271,2668,2668,2277,2049,2003,2000; 2000,2000,2004,2027,2067,2067,2027,2004,2000,2000]; surf(x,y,z); x1=0:100:1800; y1=x1'; z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline'); surf(x1,y1,z1); x2=0:50:1800; y2=x2'; z2=interp2(x1,y1,z1,x2,y2,'spline'); surf(x2,y2,z2); contour(x2,y2,z2,12)
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线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大，误差越小。 3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次埃尔米特插值具有保形性；而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插值函数的性态更好。 二维插值函数： MATLAB中的二维插值函数为interp2（），其调用格式为： Z1=interp2（X，Y，Z，X1，Y1，method） 其中，X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值的点。
停车视距的增长随着车速增加呈非线性增长。速度越快，要求视线越远。 第二问：设计一条最高时速为125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米？
从图中可以看出最大高地的位置。【本文地址】