雷諾傳輸定理 |
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雷諾傳輸定理
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,t)} ，其邊界為 ∂ Ω ( t ) {\displaystyle \partial \Omega (t)} ，考慮上式對時間的微分： d d t ∫ Ω ( t ) f dV . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}~.}若要求上述積分的導數，會有兩個問題， f {\displaystyle \mathbf {f} } 的時間相依性，及因 Ω {\displaystyle \Omega } 動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。 目录 1 通用型式 2 針對流體塊的形式 3 錯誤的引用 4 特別形式 4.1 在一維下的詮釋及簡化 5 相關條目 6 腳註 7 參考資料 8 外部連結 通用型式[编辑]雷諾傳輸定理可表為以下形式[1][2][3]是： d d t ∫ Ω ( t ) f dV = ∫ Ω ( t ) ∂ f ∂ t dV + ∫ ∂ Ω ( t ) ( v b ⋅ n ) f dA {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}~{\text{dV}}+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA}}~}其中 n ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)} 為向外的單位法向量， x {\displaystyle \mathbf {x} } 為區域中的一點，也是積分變數， dV {\displaystyle {\text{dV}}} 及 dA {\displaystyle {\text{dA}}} 是位於 x {\displaystyle \mathbf {x} } 的體積元素及表面元素， v b ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} _{b}(\mathbf {x} ,t)} 為面積元素的速度而非流速。函數 f {\displaystyle \mathbf {f} } 可以是張量、向量或純量函數[4]。注意等式左邊的積分只是時間的函數，所以採用全微分符號。 針對流體塊的形式[编辑]在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} 為一流體塊，則存在速度函數 v = v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)} 及邊界元素符合下式 v b ⋅ n = v ⋅ n . {\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .}上式在替代後，可以得到以下的定理[5] d d t ( ∫ Ω ( t ) f dV ) = ∫ Ω ( t ) ∂ f ∂ t dV + ∫ ∂ Ω ( t ) ( v ⋅ n ) f dA . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}~{\text{dV}}+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA}}~.} 針對一流體塊的證明令 Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} 為區域 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} 的參考組態，令其運動及形變梯度為 x = φ ( X , t ) ; ⟹ F ( X , t ) = ∇ ∘ φ . {\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t)~;\qquad \implies \qquad {\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }{\boldsymbol {\varphi }}~.}令 J ( X , t ) = det [ F ( X , t ) ] {\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det[{\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)]} . 則目前組態及參考組態的積分有以下的關係 ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV = ∫ Ω 0 f [ φ ( X , t ) , t ] J ( X , t ) dV 0 = ∫ Ω 0 f ^ ( X , t ) J ( X , t ) dV 0 . {\displaystyle \int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} [{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t]~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV}}_{0}=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV}}_{0}~.}That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 針對體積積分的微分定義為 d d t ( ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV ) = lim Δ t → 0 1 Δ t ( ∫ Ω ( t + Δ t ) f ( x , t + Δ t ) dV − ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV ) . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\cfrac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)~{\text{dV}}-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right)~.}將上式轉換為對參考組態的積分，可得 d d t ( ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV ) = lim Δ t → 0 1 Δ t ( ∫ Ω 0 f ^ ( X , t + Δ t ) J ( X , t + Δ t ) dV 0 − ∫ Ω 0 f ^ ( X , t ) J ( X , t ) dV 0 ) . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\cfrac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)~J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)~{\text{dV}}_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV}}_{0}\right)~.}因為 Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} 和時間無關，可得 d d t ( ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV ) = ∫ Ω 0 [ lim Δ t → 0 f ^ ( X , t + Δ t ) J ( X , t + Δ t ) − f ^ ( X , t ) J ( X , t ) Δ t ] dV 0 = ∫ Ω 0 ∂ ∂ t [ f ^ ( X , t ) J ( X , t ) ] dV 0 = ∫ Ω 0 ( ∂ ∂ t [ f ^ ( X , t ) ] J ( X , t ) + f ^ ( X , t ) ∂ ∂ t [ J ( X , t ) ] ) dV 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left[\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\cfrac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)~J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right]~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)]~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)]~J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~{\frac {\partial }{\partial t}}[J(\mathbf {X} ,t)]\right)~{\text{dV}}_{0}\end{aligned}}}現在， det F {\displaystyle \det {\boldsymbol {F}}} 的時間導數為 [6] ∂ J ( X , t ) ∂ t = ∂ ∂ t ( det F ) = ( det F ) ( ∇ ⋅ v ) = J ( X , t ) ∇ ⋅ v ( φ ( X , t ) , t ) = J ( X , t ) ∇ ⋅ v ( x , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )=J(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)=J(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)~.}因此 d d t ( ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV ) = ∫ Ω 0 ( ∂ ∂ t [ f ^ ( X , t ) ] J ( X , t ) + f ^ ( X , t ) J ( X , t ) ∇ ⋅ v ( x , t ) ) dV 0 = ∫ Ω 0 ( ∂ ∂ t [ f ^ ( X , t ) ] + f ^ ( X , t ) ∇ ⋅ v ( x , t ) ) J ( X , t ) dV 0 = ∫ Ω ( t ) ( f ˙ ( x , t ) + f ( x , t ) ∇ ⋅ v ( x , t ) ) dV {\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)]~J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~J(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)]+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~J(\mathbf {X} ,t)~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~{\text{dV}}\end{aligned}}}其中 f ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}} 為 f {\displaystyle \mathbf {f} } 的材料導數（英语：Material derivative），現在材料導數為 f ˙ ( x , t ) = ∂ f ( x , t ) ∂ t + [ ∇ f ( x , t ) ] ⋅ v ( x , t ) . {\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)]\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)~.}因此 d d t ( ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) dV ) = ∫ Ω ( t ) ( ∂ f ( x , t ) ∂ t + [ ∇ f ( x , t ) ] ⋅ v ( x , t ) + f ( x , t ) ∇ ⋅ v ( x , t ) ) dV {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)]\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)~{\text{dV}}}或者 d d t ( ∫ Ω ( t ) f dV ) = ∫ Ω ( t ) ( ∂ f ∂ t + ∇ f ⋅ v + f ∇ ⋅ v ) dV . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~{\text{dV}}~.}利用以下的恆等式 ∇ ⋅ ( v ⊗ w ) = v ( ∇ ⋅ w ) + ∇ v ⋅ w {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }可得 d d t ( ∫ Ω ( t ) f dV ) = ∫ Ω ( t ) ( ∂ f ∂ t + ∇ ⋅ ( f ⊗ v ) ) dV . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)~{\text{dV}}~.}利用高斯散度定理及恆等式 ( a ⊗ b ) ⋅ n = ( b ⋅ n ) a {\displaystyle (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} =(\mathbf {b} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {a} } ，可得 d d t ( ∫ Ω ( t ) f dV ) = ∫ Ω ( t ) ∂ f ∂ t dV + ∫ ∂ Ω ( t ) ( f ⊗ v ) ⋅ n dA = ∫ Ω ( t ) ∂ f ∂ t dV + ∫ ∂ Ω ( t ) ( v ⋅ n ) f dA ◻ {\displaystyle {{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}~{\text{dV}}+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} ~{\text{dA}}=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}~{\text{dV}}+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA}}\qquad \square }} 錯誤的引用[编辑]此定理常被錯誤的引用為只針對物质体积（material volume）的形式，若將只針對物质体积應用於物质体积以外的區域中，就會出現問題。 特別形式[编辑]若 Ω {\displaystyle \Omega } 不隨時間改變，則 v b = 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{b}=0} ，且恆等式化簡為以下的形式 d d t ∫ Ω f dV = ∫ Ω ∂ f ∂ t dV , {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }f~{\text{dV}}=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}~{\text{dV}}~,}不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。 在一維下的詮釋及簡化[编辑]此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設 f {\displaystyle f} 和 y {\displaystyle y} 和 z {\displaystyle z} 無關，且 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} 為 y − z {\displaystyle y-z} 平面的單位方塊，且有 a ( t ) {\displaystyle a(t)} 及 b ( t ) {\displaystyle b(t)} 的極限，雷諾傳輸定理會簡化為 d d t ∫ a ( t ) b ( t ) f dx = ∫ a ( t ) b ( t ) ∂ f ∂ t dx + ∂ b ( t ) ∂ t f ( b ( t ) , t ) − ∂ a ( t ) ∂ t f ( a ( t ) , t ) , {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a(t)}^{b(t)}f~{\text{dx}}=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}~{\text{dx}}+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f(b(t),t)-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f(a(t),t)~,}上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。 相關條目[编辑] 積分符號內取微分 萊布尼茲積分律（英语：Leibniz integral rule） 腳註[编辑] ^ L. Gary Leal, 2007, p. 23. ^ O. Reynolds, 1903, Vol. 3, p. 12–13 ^ J.E. Marsden and A. Tromba, 5th ed. 2003 ^ H. Yamaguchi, Engineering Fluid Mechanics, Springer c2008 p23 ^ T. Belytschko, W. K. Liu, and B. Moran, 2000, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley and Sons, Ltd., New York. ^ Gurtin M. E., 1981, An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, p. 77. 參考資料[编辑] L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, p. 912. O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge. J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman . 外部連結[编辑] Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freelyavailable in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3, https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1 http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） |
函数
极限论
微分学
积分
微積分基本定理
微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）
基础概念（含极限论和级数论）
實數性質
函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷大（衔尾蛇） · 無窮小量 · ε-δ式定义（英语：(ε, δ)-definition of limit） · 实无穷（英语：Actual infinity） · 大O符号 · 上确界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹－切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 间断点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 · 紧集 · 海涅－博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 内积 · 外积 · 混合积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐标系 · 多元函数 · 凸集 · 压缩映射原理 · 级数 · 收敛级数（英语：convergent series） · 几何级数 · 调和级数 · 项测试 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：function series） · 一致收敛 · 迪尼定理
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一元积分
积分表
定义
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达布积分
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求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · 牛顿-莱布尼茨公式 · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 数值积分（矩形法 · 梯形法 · 辛普森积分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔斯特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理
多元微积分
偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全导数 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 海森矩阵 · 鞍点 · 多重积分（逐次积分（英语：iterated integral） · 积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯公式 · 斯托克斯公式及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）（加托导数 · 弗雷歇导数（英语：Fréchet derivative） · 矩阵的微积分（英语：matrix calculus）） · 弱导数
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積分
f
=
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}
，其邊界為
∂
Ω
(
t
)
{\displaystyle \partial \Omega (t)}
，考慮上式對時間的微分：
的時間相依性，及因
Ω
{\displaystyle \Omega }
動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。
為向外的單位法向量，
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
為區域中的一點，也是積分變數，
dV
{\displaystyle {\text{dV}}}
及
dA
{\displaystyle {\text{dA}}}
是位於
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
為面積元素的速度而非流速。函數
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
及邊界元素符合下式
針對一流體塊的證明
為區域
Ω
(
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
![J({\mathbf {X}},t)=\det[{\boldsymbol {F}}({\mathbf {X}},t)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488e6f753749ea03647f6dfbdcdbd6cf515575bc)
.
則目前組態及參考組態的積分有以下的關係
![\int _{{\Omega (t)}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)~{\text{dV}}=\int _{{\Omega _{0}}}{\mathbf {f}}[{\boldsymbol {\varphi }}({\mathbf {X}},t),t]~J({\mathbf {X}},t)~{\text{dV}}_{0}=\int _{{\Omega _{0}}}{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)~J({\mathbf {X}},t)~{\text{dV}}_{0}~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a49b5532c9a31af8181b530f93ce95d8880ab0d)
![{\begin{aligned}{\cfrac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\left(\int _{{\Omega (t)}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)~{\text{dV}}\right)&=\int _{{\Omega _{0}}}\left[\lim _{{\Delta t\rightarrow 0}}{\cfrac {{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t+\Delta t)~J({\mathbf {X}},t+\Delta t)-{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)~J({\mathbf {X}},t)}{\Delta t}}\right]~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{{\Omega _{0}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)~J({\mathbf {X}},t)]~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{{\Omega _{0}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)]~J({\mathbf {X}},t)+{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)~{\frac {\partial }{\partial t}}[J({\mathbf {X}},t)]\right)~{\text{dV}}_{0}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccf7b716b8f34767f136efbceb2832faa96de7e)
的時間導數為
[6]
![{\begin{aligned}{\cfrac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\left(\int _{{\Omega (t)}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)~{\text{dV}}\right)&=\int _{{\Omega _{0}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)]~J({\mathbf {X}},t)+{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)~J({\mathbf {X}},t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)\right)~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{{\Omega _{0}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}[{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)]+{\hat {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {X}},t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)\right)~J({\mathbf {X}},t)~{\text{dV}}_{0}\\&=\int _{{\Omega (t)}}\left({\dot {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {x}},t)+{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)\right)~{\text{dV}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb723181cce1321f237c980778b89bc72717f7d)
為
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
![{\dot {{\mathbf {f}}}}({\mathbf {x}},t)={\frac {\partial {\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)}{\partial t}}+[{\boldsymbol {\nabla }}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)]\cdot {\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0527b00dc98359f37547adb6ed77d26e9b65d5de)
![{\cfrac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\left(\int _{{\Omega (t)}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)~{\text{dV}}\right)=\int _{{\Omega (t)}}\left({\frac {\partial {\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)}{\partial t}}+[{\boldsymbol {\nabla }}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)]\cdot {\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)+{\mathbf {f}}({\mathbf {x}},t)~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)\right)~{\text{dV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccadc7aec02eeff04b0876b7d6c97d41f277add)
，可得
錯誤的引用[编辑]
，且恆等式化簡為以下的形式
和
y
{\displaystyle y}
和
z
{\displaystyle z}
無關，且
Ω
(
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
平面的單位方塊，且有
a
(
t
)
{\displaystyle a(t)}
及
b
(
t
)
{\displaystyle b(t)}
的極限，雷諾傳輸定理會簡化為
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