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图形学笔记(二)图形学中的线性代数——向量、矩阵(转置、逆)、叉乘、点乘 图形学笔记(四)变换——三维变换(三维旋转与欧拉角)、MVP变换、视图变换、投影变换(正交投影与透视投影) 文章目录 1. 缩放(Scale)变换1.1 均匀缩放1.2 不均匀缩放 2. 镜像(Reflection)变换3. 切变Shear4. 旋转4.1 旋转矩阵及性质4.2 推导 5. 线性变换(Linear Transforms)6. 齐次坐标(Homogenous Coordinates):6.1 引入6.2 齐次坐标6.2.1 齐次坐标的二维表示6.2.2 点和向量第三维为0和1的验证:6.2.3 点齐次坐标的意义 7. 仿射(Affine)变换7.1仿射变换的两种表示形式7.2 齐次坐标表示各种变换 8. 逆(Inverse)变换9. 变换组合(composite):10. 变换的分解: 1. 缩放(Scale)变换 1.1 均匀缩放![]()
水平镜像: ![]() ![]() 切变:两个距离很近、大小相等、方向相反的平行力作用于同一物体上所引起的形变。
旋转Rotation矩阵: R θ = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} Rθ=(cosθsinθ−sinθcosθ) 当角度为负数时(将 − θ -\theta −θ代入),说明旋转矩阵是正交矩阵: R θ = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) = R θ T R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} = R_\theta^T Rθ=(cosθ−sinθsinθcosθ)=RθT 可以得到旋转矩阵的以下性质: R − θ = R θ − 1 R_{-\theta} = R_\theta^{-1} R−θ=Rθ−1 4.2 推导选两个原位置为(1,0)和(0,1)的特殊点,使二维矩阵待定系数,使用三角函数求解。 线性映射( linear mapping)是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算,而线性变换(linear transformation)是线性空间V到其自身的线性映射。 线性变换(Linear Transforms) = 矩阵(Matrices)。 线性变换都可以写成矩阵相乘的形式,如下所示: 齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。 6.1 引入平移变换: 平移变换的表示形式: 存在的问题:以上的写法不能写成矩阵形式。 只能写成以下形式: 这里平移不再是线性变换,所以有没有办把包括平移在内的所有变换表示出来的统一方法呢? 解决办法:齐次坐标。 6.2 齐次坐标 6.2.1 齐次坐标的二维表示对于二维坐标,增加第三个维度: 二 维 的 点 = ( x , y , 1 ) T 二维的点=(x,y,1)^T 二维的点=(x,y,1)T 二 维 的 向 量 = ( x , y , 0 ) T ( 0 是 使 得 平 移 变 换 之 后 方 向 不 变 ) 二维的向量=(x,y,0)^T(0是使得平移变换之后方向不变) 二维的向量=(x,y,0)T(0是使得平移变换之后方向不变) 如果点的第三维为0,那么点和向量运算保持了平移不变性(点+向量第三维不会超过1)。 在齐次坐标下,点+点是这两个点的中点,如下所示(相加w变成2,然后横纵坐标全除以2)。 仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。 7.1仿射变换的两种表示形式线性映射+平移 齐次坐标的形式 ![]() ![]() ![]() 表示为: M − 1 M^{-1} M−1 M − 1 M^{-1} M−1在矩阵和几何意义上都是是变换M的逆。 简单的理解:把变换的操作反过来,如下图所示。 如何得到以下变换? 可以知道: 复杂的的变换可以通过简单的变换得到。变换的顺序非常重要(矩阵乘法不满足交换律)。矩阵是从右到左应用的。如下所示,先旋转再平移。![]() 结论的推广(矩阵乘法满足结合律): 将不同的变换矩阵进行合成:对于很多变换,可以先把变换做乘积,得到一个3*3的矩阵来表示十分复杂的矩阵。 10. 变换的分解:例子:让矩阵按照某一点进行旋转(如下所示,先将旋转点平移到原点,然后再平移回去)。 |
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