定义：设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在有界区域 D D D上有定义，将区域 D D D任意分成 n n n个小区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , . . . , Δ σ n \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,...,\Delta\sigma_n Δσ1​,Δσ2​,...,Δσn​其中 Δ σ i \Delta\sigma_i Δσi​代表第 i i i个小区域，也表示它的面积，在每个 Δ σ i \Delta\sigma_i Δσi​上任取一点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi​,ηi​)，做乘积 f ( ξ i , η i ) Δ σ i f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i f(ξi​,ηi​)Δσi​，并求和 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i i=1∑n​f(ξi​,ηi​)Δσi​记 λ \lambda λ为 n n n个小区中的最大 直径，如果 lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​,ηi​)Δσi​存在，则称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D上的二重积分，记为 ∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i D∬​f(x,y)dσ=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​,ηi​)Δσi​ 几何意义：二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma D∬​f(x,y)dσ是一个数：

设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d D:a\leq x\leq b,c\leq y\leq d D:a≤x≤b,c≤y≤d上可积，其积分值与分割方法无关，那么可选用平行于坐标轴的两组直线来分割 D D D，则对区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]中的任一点 x x x积分（一条垂直于 x x x轴的线）： F ( x ) = ∫ c d f ( x , y ) d y F(x)=\int^d_cf(x,y)dy F(x)=∫cd​f(x,y)dy 存在， F ( x ) F(x) F(x)也是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 x x x的可积函数，并且积分 ∫ a b F ( x ) d x \int_a^bF(x)dx ∫ab​F(x)dx 也存在，因此二重积分可用累次积分进行积分，即 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy D∬​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫cd​f(x,y)dy 同样的，也可以先对 x x x后对 y y y积分：

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx D∬​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫ab​f(x,y)dx 有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等，或被积函数为 f ( x 2 + y 2 ) , f ( y x ) , f ( x y ) f(\sqrt{x^2+y^2}),f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y}) f(x2+y2 ​),f(xy​),f(yx​)等形式时，采用极坐标会方便。在直角坐标系 x O y xOy xOy中，取原点为极坐标的极点，取正 x x x轴为极轴，则点 P P P的直角坐标系 ( x , y ) (x,y) (x,y)与极坐标轴 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ)之间有关系式：

为得到极坐标下的面积元素 d σ dσ dσ的转换，用坐标曲线网去分割 D D D，即用 O O O为圆心 r r r为半径的圆和 O O O为起点的射线去无穷分割 D D D。仿照直角坐标系下面积元素的取法，在 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ)处取一个圆心角为 d θ d\theta dθ，宽度为 d r dr dr 的小扇环作为面积元素。为了方便计算，我们不妨把这个小扇环看作一个矩形，，那么它的长宽分别为 r d θ rd\theta rdθ（弧长）和 d r dr dr ，那么 d σ = r d θ r d dσ=rd\theta rd dσ=rdθrd

同样的，对于极坐标也有两种积分次序：

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ φ ( α ) φ ( β ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr D∬​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫φ(α)φ(β)​f(rcosθ,rsinθ)rdr

最后，若区域 D D D上 f ( x , y ) = g ( x ) h ( y ) f(x,y)=g(x)h(y) f(x,y)=g(x)h(y)，则： ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ g ( x ) d x ∫ h ( y ) d y \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int g(x)dx\int h(y)dy D∬​f(x,y)dσ=∫g(x)dx∫h(y)dy 极坐标也同样适用。

二重积分的计算应该严格按照以下步骤进行：

有时题目中的积分区域会由一个复杂的参数方程或极坐标方程确定，比如 { x = c o s 3 t y = s i n 3 t ① \tag*① \begin{cases} x=cos^3t\\ y=sin^3t \end{cases} {x=cos3ty=sin3t​① 对于这种函数如果想先将其转为直角坐标方程再画图是十分困难的，此时就应该使用描点画图法，描点画图法的思想为：

对于①来说，其中 x x x的单调分界点为 t = 0 , π , 2 π , … t=0,\pi,2\pi,\dots t=0,π,2π,…； y y y的单调分界点为 t = − π 2 , π 2 , 3 π 2 , … t=-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\dots t=−2π​,2π​,23π​,…。那么可做表如下：

由此可作图得：

考研常考的曲线见下文常见曲线。

如果积分区域 D D D具有轮换对称性，也就是关于直线 y = x y=x y=x对称，即 D D D的表达式中将 x x x换作 y y y， y y y换作 x x x表达式不变，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( y , x ) d σ = 1 2 ∬ D f ( x , y ) + f ( y , x ) d x d y \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\underset{D}{\iint}f(y,x)d\sigma=\frac{1}{2}\underset{D}{\iint}f(x,y)+f(y,x)dxdy D∬​f(x,y)dσ=D∬​f(y,x)dσ=21​D∬​f(x,y)+f(y,x)dxdy

积分次序的选择是指在将二重积分化为累次积分时先对哪个自变量进行积分，并且有一类题就是要求转换积分次序：

确定好积分次序后就需要确认每个自变量的积分区域。

上文我们提到，若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d D:a\leq x\leq b,c\leq y\leq d D:a≤x≤b,c≤y≤d上可积，其积分值与分割方法无关，那么可选用平行于坐标轴的两组直线来分割 D D D，则对区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]中的任一点 x x x积分（一条垂直于 x x x轴的线）： F ( x ) = ∫ c d f ( x , y ) d y F(x)=\int^d_cf(x,y)dy F(x)=∫cd​f(x,y)dy 存在， F ( x ) F(x) F(x)也是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 x x x的可积函数，并且积分 ∫ a b F ( x ) d x \int_a^bF(x)dx ∫ab​F(x)dx 也存在，因此二重积分可用累次积分进行积分，即 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy D∬​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫cd​f(x,y)dy

在这个表述中：

在直角坐标系下：

在极坐标下和再直角坐标系下基本一致区别在于：

先看变量的数值范围就是积分区域能取到的先看变量的最大值最小值，先积变量的曲线范围可以使用穿线法确定：

所有考研可能出现的复杂的积分区域如下，最好根据方程用描点画图法画一下。图片出自同济大学高等数学第七版上册附录Ⅲ：

不会的问我哦