【线性代数的本质】逆矩阵、列空间、秩与零空间 |
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本文已收录于 线性代数的本质学习笔记 系列,共计 9 篇,本篇是第 4 篇本文已收录到:线性代数的本质学习笔记 专题【线性代数的本质】向量【线性代数的本质】矩阵与线性变换【线性代数的本质】行列式【线性代数的本质】逆矩阵、列空间、秩与零空间【线性代数的本质】点积与对偶性【线性代数的本质】叉积的标准介绍【线性代数的本质】基变换【线性代数的本质】特征向量与特征值【线性代数的本质】抽象向量空间
文章目录
隐藏
1
线性方程组
1.1
伴随矩阵
2
逆矩阵
3
线性方程组的解
4
秩
5
列空间
6
零空间
7
总结
8
非方阵
8.1
几何意义
8.2
非方阵乘法、非方阵行列式
线性方程组
在每个方程组中,未知量只具有常系数,这些未知量之间只进行加和,没有幂次、没有函数等。这就被成为线性方程组。 线性方程组就是矩阵A和$\vec{x} $的乘积:A是系数,$\vec{x} $是向量,以及他们的乘积$\vec v$向量。 从几何的角度来思考,矩阵A表示一个线性变换(即记录下线性变换的操作),我们需要找到一个$\vec x$使得它在变换后和$\vec v$重合。 使用之前的几何直观来翻译个公式即$\vec{x} $经过 A矩阵变换后,恰好落在$\vec v$向量上,如下图:
如何求 $\vec{x} $。逆向思考,从$\vec{v} $ 出发,进行某一个矩阵变换,恰好得到$\vec{x} $ 。而这个反过来的矩阵变换,就称为 A矩阵的逆矩阵,写成公式是: 所以通过在A矩阵的左侧乘以一个A的逆矩阵就得到求解$\vec{x} $的方程。 伴随矩阵弹幕:伴随就是不但把变化后的向量拉回到原向量的位置,还要把向量拉伸的再缩放回去,就等于是把一个向量的方向和大小都给它变回基向量的位置。 逆矩阵 线性方程组的解对于方程组$A\vec x = \vec v$,线性变换A存在两种情况: $det(A) =0$:空间被压缩到更低的维度,这时不存在逆变换,因为不能将一个直线解压缩为一个平面,这不是函数能做到的,压缩不可逆: 即使不存在逆变换,但解可能仍然存在,如果很巧,$\vec v$ 刚好落在压缩后的空间上: $det(A) \neq0$:这时空间的维数并没有改变,有且只有一个向量经过线性变换后和$\vec v$重合。 秩除了0行列式外,我们还有特殊的属于来描述上述“压缩”、“解压缩”、解的存在情况,即——秩。 秩为1:变换后的结果是一维的,也就是落在一条直线上 秩为2:变换后落在一个平面上 秩是线性无关向量个数,秩代表变换后空间的维数,其实叫做“维度”可能更容易来理解。 行列式只能判断空间是否压缩为0,而秩能判断压缩为几维。 列空间不管是一条线、一个平面还是三维空间,所以可能变换的结果的集合被称为矩阵的列空间,即所有列向量张成的空间。所以秩更精确的定义是列空间的维数。 当秩达到最大值时,意味着秩与列数相等,成为满秩。 变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果;列空间就是矩阵的列张成的空间。更精确的定义——秩是列空间的维数 零空间 图1:二维压缩到一个直线(一维),有一条直线(一维)的点被压缩到原点 图2:三维压缩到一个面(二维),有一条直线(一维)的点被压缩到原点 图3:三维压缩到一条线(一维),有一个面(二维)的点被压缩到原点注意:压缩就是变换,变换就是矩阵,其实说的就是矩阵 变换后落在原点上的向量的集合称为矩阵的零空间或核。 当$A\vec x = \vec v$中的$\vec v$是一个零向量,即$A\vec x = \begin{bmatrix}0 \\0\end{bmatrix}$时,零空间就是它所有可能的解。 这就是基础解系,而特解就是在变换后得到的直线空间上找的向量; 这里对应齐次方程组解的两种情况;这也解释了,为什么齐次线性方程组在系数矩阵不满秩的时候有无穷姐解; 压缩后在列空间内,说明之前就在原空间内,所以有解。而不在压缩后的空间内,说明原本就不在与原空间内,自然无解。; AX=V,V经过A的变换后,如果落在A组成的列空间内,则有解,否则无解 总结 每个方程组都有一个线性变换与之联系,当逆变换存在时就可以利用逆变换求解方程组; 列空间可以让你知道什么时候存在解; 当$\vec v$恰好为0时,零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。 非方阵 几何意义Ps:没有升维,这是三维空间中的二维子空间。 即这是三维空间中的二维平面。 三维空间映射到二维空间:上图3×2的矩阵表示将一个三维空间映射到二维空间上。 二维空间映射到一维空间:一个$1\times 2$的矩阵:$\begin{bmatrix}1&2 \end{bmatrix}$表示一个二维空间映射到一维空间。 弹幕:与其说是降维,不如说是3D空间在2D空间的“投影”,就像手电筒照射物体投影在墙面一样。 总结: 非方阵乘法、非方阵行列式【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)
参考文献:【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io) 线性代数 | null (sanzo.top) 作者: 高志远高志远,24岁,男生 查看高志远的所有文章 |
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