斯特林公式的推导（简单法则）

此处不使用瓦利斯公式以及其他阶乘定理，而仅采用最简单的微积分法则。

我们知道，对于自然数n，有n!=1×2×3×……×n

那么lnn!=ln(1×2×3×……×n)=ln1+ln2+ln3+……+lnn

记F(n)=lnn!，则F(n)=∑lnk

而此求和没有特定公式，只能靠近似的算法。

如图，是xOy坐标系当中y=lnx的函数图像。其中，深色和浅色的部分面积之和构成了F(n)的值。而下一步目 标就是要计算这部分的面积。

浅色的部分可以通过积分∫lnxdx来得到，深色的部分则是不规则曲边三角形。如果把它们看成直角三角形的话，那么有

总面积 S=1/2(ln2-ln1)+1/2(ln3-ln2)+1/2(ln4-ln3)+……+1/2[lnn-ln(n-1)] =1/2(lnn-ln1) =1/2×lnn

所以

所以

斯特林公式简易公式为

对比两式，√2π≈2.506628，e≈2.71828，两式相似度较高。而斯特林公式简易式为亏式，此式为盈式。