集合，set，就是将一些确定的东西放在一起形成的 object，比如 {1 2 3 4 5}、{张三 李四 王五 赵六}。集合中的元素不区分顺序，相同的元素认为是同一个元素。对于 S 中的元素 a，me 们说 a ∈ S (a 属于 S)，当然如果 a 不在 S 中，me 们就说 a ∉ S (a 不属于 S)。

集合中元素的个数，有时候是有限 (finit) 的，有时候不是有限的，比如 {1 2 3 4 5} 这个集合有 5 个元素，{1 2 3 4 5 6 7 8 ..} 自然数集合就不是有限集合。集合的元素的个数，又叫基数；之所以用基数这个说法，是因为对于无限集合来说“个数”是一个太容易引起混淆的词。有限集合的基数即是通常说的个数了，都是自然数，而且它们还可以比较大小，反映集合中元素的多少。对于无限集合肿么比较元素多少呢？O__O"…

也许 me 们会说自然数是有无限多，正奇数也是无限多的，那这两个无限谁多呢？正奇数是自然数的真子集，me 们可能认为自然数数目要多一些。不过这种一个集合属于另一个集合真子集的判断标准，几乎不可以推广，而且矛盾也比较多。自然数包括正奇数和正偶数，正奇数个数和正偶数个数，me 们赶脚应该是“不相伯仲”的，而自然数的个数是不是就是正奇数个数的两倍呢？

后来创立集合论的康托给出了一个评判标准：如果两个集合 A 、B 的元素可以建立一一对应关系，那 me 们就说它们的基数相等。这个标准对于有限集合来说是成立的，所有有 4 个元素的集合，比如 {1 3 5 7} 、{2 4 6 8}、{张、王、李、赵} 元素的个数相等，它们和 {1 2 3 4 5} 有 5 个元素的集合相比基数则不一样。现在拿“一一对应”来评判无限集合。按可以一一对应建立相等的观念，那么正奇数个数 (2N+1) 和正偶数 (2N) 个数，或是说基数是一样的，自然数 (N) 和正奇数的个数也是一样多的，因为自然数 N 可以和正奇数 2N+1 建立一一对应关系，比如 0 ↔ 1，1 ↔ 3，2 ↔ 5， 3 ↔ 7，4 ↔ 9，...

有限集合与它的真子集的基数(个数)不可能相等，也就是不能建立一一对应关系；而且显而易见的是，真子集的基数要小。而对于无限集合来说，比如自然数来说，它可以与它的某一个真子集比如正奇数，建立一一对应关系，它们的基数相同。对于任意一个无限集合 S，毫无疑问 me 们可以抽取一个序列 e1, e2, e3, ... en,... ，所以 me 们应该很容易从 S 中抽取一个真子集，然后 S 和其真子集 S' 一一对应，比如 S 去掉 e1 形成 S' 。(对应关系应该很容易猜出来。)

所以，me 们可以大胆滴说，有限集合和无限集合区分的标志特征(之一)就是，无限集合可以与自己的真子集等势。

可数，或是可以枚举，就如名字所言，可以 one by one 滴数，能全部数到就是可数的，否则就是不可数的。有限集合是可数的，因为 10 个元素 me 数 10 次就数完了；自然数可以按着顺序一直数下去，虽然不会结束，但是 me 们能数到每一个自然数，所以也属于可数集合。对于无限集合，如果能和自然数建立一一对应的就是可数集合，否则就是不可数集合。

有很多集合都是无限可数的，比如正奇数 1 3 5 7 9 11... 和 正偶数 2 4 6 8 10 12 集合。下面有一些可能意想不到的结论，可以围观一下：

上面说的每个可数集合，me 们都可以用手指头一个一个地数下去，而且没有一个会遗漏。me 们武断滴认为实数集合比自然数集合多得多，但是是不是也会想有理数那么样可数呢？如果可数，me 们就得去找一一对应关系，不过不好找，找很多个到最后可能发现也不对。最后有人发现可以用反证法证明，实数集合是不可数的，其中会用到有名的对角化原理。

[0,1) 之间的实数，实际上就是小于 1 的小数(非负)，假设这里的实数都是可数的，me 们可以 n1 n2 n3 n4 n5 ... 把所有的 [0.1) 的实数数出来，现在构造一个实数 α，属于 [0,1) 但不等于任一个 nk 。

me 们看 ni 这个数的第 i 个数字(0、1、2 或是其他)，如果是 0 的话，me 们将 α 的第 i 位置为 1 ；如果是 1 的话，me 们将 α 的第 i 位置为 2 ；是 2 的置为 3；... ；是 9 的话置为 0。这样的话，α 不会等于任一个 ni，因为在第 i 个位置上它们的数字总是不一样的(因为改变过...)。但是呢，me 们构造的数确实是一个 [0,1) 的小数。

也就是说，对于 [0,1) 中的数字，me 们一个一个地数，总会有一些数不到，O__O"…。所以，[0,1) 中的实数不可数。

有了基数相等的判断标准之后，me 们发现自然数 N 和正偶数 2N 个数相等，N 和整数 Z 个数相等，N 和有理数 Q 个数相等。但是，N 和 [0,1) 之间的实数是不相等的，现在要说的是，[0,1) 之间的实数和 R 个数是相等的。

前面说 [0,1) 之间的实数是不可数的，现在说 N 的幂集是不可数的，实际上 [0,1) 和 N 的幂集等势，也就是可以认为它们的个数相等。

对于有限集合来说是容易证明的的，2n > n (n ∈ {1, 2, 3, 4, .., ,k, ...}) 。对于自然数 N ，或是说可数无穷集合来说，上面也已证明。标题的意思是说，对于非可数无穷 S 来说，其幂集 2S 的势要比 S 的大。先不管怎么证明，这里至少给出了一种方法： 可以在一个集合上不断构造势更大的集合，只要不断滴构造幂集就可以。

对于无限集合来说，最小的势就是 N 的势，记作 ℵ0。 其幂集的势(又是实数 R 的势) 2ℵ0 记作 ℵ1，后面依次是 ℵ2，ℵ3，...

这里的证明暂时略掉。(u 为什么这么吊，为什么 !)

前面说了， R 的势和 N 的幂集的势相等，是 2ℵ0 = ℵ1。 连续统假设就是说，ℵ0 和 ℵ1 之间没有其他的势，这只是一个假设而已，目前既没有证明，也没有否证。

前面说了，N 和 2N 的势是一样的，都是 ℵ0，也就是自然数个数和偶数个数是一样多的，下面是一些类似的结论：

最初只有自然数集合 N，也就是 {0, 1, 2, 3, 4, ...}，这里面有没有 0 不是问题的重点，如果有 0 可以说一切都是“无中生有”，如果没有的话，可以说“一切都是从 1 开始”，喜欢闲扯的不妨扯一扯，O__O"…从自然数的加法，到自然数的乘法，到乘方，反过来减法、除法、开方，发现不够减产生了负数；发现不够除有了分数；发现开不尽，有了无理数；当然发现有些不能开方，又有了虚数，O__O"…。

自然数集合 N，整数集合 Z，有理数集合 Q，实数集合 R，前者都是后者的真子集。关于这些集合，有一些结论 me 们是已经知道的，有一些可能不知道的，现在罗列一下：