等差数列及它的和 |
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等差数列及它的和
数列
序列是一组顺序排列的东西,若这些东西是数,我们便称之为数列。 等差数列在等差数列里, 每一项和下一项的差是个常数。 换句话说,每次加个等值,至到永远,…… 例子: 1,4,7,10,13,16,19,22,25……每项和下一项的差是 3。 等差数列的一般写法是: {a, a+d, a+2d, a+3d, ... } a 是首项, d 是项与项之间的差(叫"公差") 例子:(续) 1,4,7,10,13,16,19,22,25…… 有: a = 1 (首项) d = 3 (项与项之间的 "公差")数列是: {a,a+d,a+2d,a+3d……} {1,1+3,+2×3,1+3×3……} {1,4,7,10……} 规则 我们可以把等差数列写成一个公式: xn = a + d(n-1) (用 "n-1",因为在第一项里没有 d) 例子:写下以下数列的规则,并求其第四项。 3,8,13,18,23,28,33,38……每项和下一项的差是 5。 a 和 d 的值是: a = 3 (首项) d = 5 (("公差")计算出规则: xn = a + d(n-1) = 3 + 5(n-1) = 3 + 5n - 5 = 5n - 2 所以第 4 项是: x4 = 5×4 - 2 = 18 自己来检验! 把等差数列加起来 把等差数列的项加起来: a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ... 用这个公式: 那个符号是什么?这是总和符号 意思是 "加起来"符号的下面和上面是开始值和结束值: 意思是:"以 n 从 1 到 4,把 n 加起来。答案=10 使用方法: 例子:把以下的等差数列的头 10 项加起来:{ 1,4,7,10,13…… } a、d 和 n 的值是: a = 1 (首项) d = 3 ("公差") n = 10 (相加多少项)所以: 变成: = 5(2+9·3) = 5(29) = 145
检验:你自己把项加起来看看是不是等于 145! 为什么公式是这样的?我们来看看为什么公式是这样的,我们会用一个有趣的技巧。 首先,设"S"为数列的和: S = a + (a + d) + ... + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d)接下来,把 S 再写一遍,不过这次反过来写: S = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a逐项相加: S = a + (a+d) + ... + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d) S = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a 2S = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d)每项都是一样的!总共有 "n" 项,所以…… 2S = n × (2a + (n-1)d)除以 2: S = (n/2) × (2a + (n-1)d) 这就是我们要导出的公式: 等比数列与和 数列 代数菜单 |
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