立方求和公式推导

立方求和公式是指将前

n

个正整数的立方相加得到一个求和式的公

式。在数学中，这个公式被称为整数幂和公式或费马多项式，可以表

示为：

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)²

这个公式第一眼看起来可能有点复杂，但实际上它很容易推导出来。

下面我们就通过推导的方式，来一步步地解释这个公式的来龙去脉。

1. 

推导过程

假设我们要求解前

n

个正整数的立方和，可以写成如下形式：

1³ + 2³ + 3³ + … + n³

对于这个求和式，我们可以将其中的每一项用乘法分配律展开，得到：

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = 1 × 1 × 1 + 2 × 2 × 2 + 3 × 3 × 3 + … + n × n × n

然后，我们再将每一项的乘积用求和符号表示出来，得到：

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = Σi³ (i=1~n)

接着，我们将这个求和式进行求和变换，得到：