1.RM的 编码

一个RM编码用R(r,m)表示，码的码长为2m ,以m=3为例子

m=3表示码长为8，这个码有四个基本的基，

即为：

x0=[1 1 1 1 1 1 1 1];

x1=[1 1 1 1 0 0 0 0];

x2=[1 1 0 0 1 1 0 0];

x3=[1 0 1 0 1 0 1 0];

那么R(0,3)的码表示0级的线性组合，也就是码的生成多项式就为x0,信息就是1比特。

R(1,3)表示1级的线性组合，这时码的生成多项式就为：

[x0;x1;x2;x3]=1 1 1 1 1 1 1 1

                       1 1 1 1 0 0 0 0

                       1 1 0 0 1 1 0 0

                       1 0 1 0 1 0 1 0

信息就是4个比特。

R(2,3)表示的是2级的线性组合，这时的生成多项式就是：

[x0;x1;x2;x3;x1x2;x1x3;x2x3]

式中x1x2表示向量x1和x2向量相乘，也就是按位相与。

信息就是7个比特。

R(3,3)表示的是3级的线性组合，这时的生成多项式是：

[x0;x1;x2;x3;x1x2;x1x3;x2x3;x1x2x3]

信息就是8个比特。

从上面就可以归纳出RM(r,m)的生成多项式包含的列一共有：

k=1+C(m,1)+C(m,2)+...+C(m,r);

C(m,r)表示m个元素你r个元素相组合得到的组合个数。

2.RM码的性质

性质一：对于R(r,m)，任意两个码字之间的距离是2m-r 。

根据差错编码控制理论，如果一种编码具有纠e个错的能力，那么这个码的任意两个码字之间的最小距离就要大于2e。

3.RM的译码

下面介绍一个直观的译码算法。这个算法的基本思想是：验证编码矩阵里的每一行即采用大数逻辑决定这一行在编码的时候是否被采用。

详细的译码算法：

第一步：对于R(r,m)编码矩阵里的每一行，找到其2m-r 个特征矢量，然后将每个特征矢量与这个码字进行点乘（GF（2）域上的矢量内积）。

第二步：观察点乘的结果里0和1的个数，如果0的个数多，则对应一行的系数定为0，否则定位1.

第三步：前两步是针对生成矩阵除了第一行的任意一行做的，做完之后将每一行与得到的系数相乘，然后将这些矢量相加得到新的一个矢量，然后将这个矢量与接收到的码字相加得到一个新的矢量，然后判断这个矢量里0和1的个数，如果0多，则表明第一行的系数是0，否则表明第一行的系数是1。这些系数即是译码的结果。

那么，每一行的监督矩阵如何得到：

对于每一行定义一个集合E，这个集合包含的元素是这一行里所没有包含的所有xi ,举一个例子，前面的R(1,3)的最后一行是x3,那么这一行对应的集合E就是{x1,x2}，对于R(2,3)最后一行是x2x3，那么这个集合就是{x1}。

特征多项式是集合里的每个元素或者它的补码的线性组合（一个组合只能出现它自己或者它的补码）。

补码的概念：多项式的各个元素去反得到的码，x1' 是x1的补码。

举个例子，对于R(1,3)的生成多项式的最后一行，得到集合E为{x1,x2},那么它的特征多项式就是：x1x2,x1x2' ,x1' x2,x1' x2'