定义1. 若 x \to x_0 时，函数 f(x) \to 0 , 则称函数 f(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。

注. x_0 可以是 \pm \infty ； 无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是 0，其实不是常数 0 而是 0 函数。

• 有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)

• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)

• 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

无穷小与函数极限的关系：

\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = A +\alpha(x), \, \,其中, \alpha(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。

同样是无穷小，在 x \to x_0 时，都趋于 0，但趋于 0 的速度快慢可能是不一样的，为了描述此事，引入无穷小的阶的概念。

定义2. 设 f(x) 和 g(x) 都是 x \to x_0 时的无穷小，

（i）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 ，则称 f(x) 为 g(x) 的高阶无穷小， 此时也称 g(x) 为 f(x) 的低阶无穷小；

结合该例来记： \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0 , 故 x \to 0 时， x^2 是 x 的高阶无穷小， x 是 x^2 的低阶无穷小。

（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l, \quad ( l \neq 0, \infty) , 则称 f(x) 为 g(x) 的同阶无穷小；

特别地，若 l = 1 , 则称 f(x) 与 g(x) 为等价无穷小。

等价无穷小代换，是求极限过程中经常用到的一种方法，它实际上就是泰勒公式展开的前一项或前两项。其原理，是基于“等价无穷小”的定义以及“极限的乘法、除法运算法则”：

定理1. 设 f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则

（i） 若\lim_{x \to x_0} f(x) h(x) =A ， 则 \lim_{x \to x_0} g(x) h(x) =A ；

（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} = A , 则 \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = A

证明: f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则 \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1

（i）由极限的乘法运算法则，

\lim_{x \to x_0} g(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) h(x) = 1 \cdot A = A

（ii）由极限的除法运算法则，

\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A

注. 该定理表明求极限时，表达式 f(x)g(x) 的乘法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) ;

表达式 \frac{h(x)}{f(x)} 的除法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) .

特别注意：用等价无穷小代换求极限时，乘积项可以直接代换，而和差项不能直接代换，但可以作为整体代换。

为什么和差项不能直接代换？

因为和差项直接代换，可能会忽略掉不能忽略的高阶项。

例如，求 \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} .

错解： \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{0}{x^3}=0

正解： \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} (1- \cos x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\cos x} \frac{x^2}{2}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos x} = \frac{1}{2}

说明：错误在于，由于分母 \sin^3 x \sim x^3 , 故分子包含的 x^3项是不能忽略的（更高阶项是可以忽略的：

\sin x \sim x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \tan x \sim x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) ,

重新代换就没问题了：

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x} {\sin ^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\big( x + \frac{x^3}{3} \big) - \big( x - \frac{x^3}{6} \big)} {x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}

这也是用泰勒公式法求极限。

最后，附上常用的等价无穷小代换（x \to 0时）：

\sin x \sim x ， \tan x \sim x ， \arcsin x \sim x ， \arctan x \sim x

1- \cos x \sim \frac{x^2} {2}

e^x - 1 \sim x ， a^x -1 \sim x \ln a

\ln (1+x) \sim x

\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac{x}{n}

(1+x)^a -1 \sim ax

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