要讨论为什么,自然要先知道是什么,我们首先必须给出位数的准确定义.

顺便插一句,数学分析这玩意真的学的时候感觉啰嗦至极,学完之后感觉一个字都不多.数学分析是一门艺术,他的美妙之处就在于给出了一个近乎完美的体系,不论是概念,工具,还是思维方式.

正是基于这种精神的熏陶,我们必须给出一个严格的位数概念.

任意一个十进制正整数 n n n可以写成 n = ∑ i = 0 ∞ r i ⋅ 1 0 i , r i ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , 9 } n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}r_i\cdot10^{i},r_i\in\{0,1,2,\cdots,9\} n=i=0∑∞​ri​⋅10i,ri​∈{0,1,2,⋯,9} 考虑序列 S = { r 0 , r 1 , r 2 , ⋯   } S=\{r_0,r_1,r_2,\cdots\} S={r0​,r1​,r2​,⋯},将所有满足 r k ∈ S r_k\in S rk​∈S,且对于任意的自然数 m m m有 r k + m = 0 r_{k+m}=0 rk+m​=0的元素按顺序选出并构造新的序列 S ′ = { r k 1 , r k 2 , r k 3 , ⋯   } , k j = k j − 1 + 1 S'=\{r_{k_1},r_{k_2},r_{k_3},\cdots\},k_j=k_{j-1}+1 S′={rk1​​,rk2​​,rk3​​,⋯},kj​=kj−1​+1,我们称 n n n的位数为 k 1 k_1 k1​.

哈哈哈上面的定义是我自己写的,不要乱用哦.但是事实证明在正整数上这个定义数正确的.

或者用对数函数与高斯函数来定义 k = [ log ⁡ 10 n + 1 ] k = [\log_{10}n +1] k=[log10​n+1]

这是比较公认的定义.下面我们来尝试把两种概念的范围拓展一下.

我们可以发现,如果令负数的位数与其绝对值相同,那么第一个定义是可以扩展到任意一个十进制数的,但是扩展之后会带来一系列的问题,比如3和3.001的位数是相同的,0与0.1的位数也是相同的. 同样的,第二个定义可以拓展到除0外的任意一个十进制数,3和3.001这样的问题依然存在.

事实上,对于纯小数(即整数部分为0的小数),其位数按照定义一与定义二的拓展是一致的.但是对于0而言,只有定义一能给出其位数为0,且和区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上的位数是相同的.

为什么会出现这样的问题？因为我们虽然拓展了适用范围,但并没有对数位的概念进行拓展.这里数位指的仍然是正整数的数位,即个位、十位、百位…根据先前的逻辑,一个数位不满1的话改数位就记0,那么这样看来这个拓展的定义还是自洽的.

解决的方法是将整数与纯小数分开.为了符合直觉,不妨将 n n n位纯小数的位数定义为 − n -n −n.那么0.1就是-1位数,0.01就是-2位数.

我们可以将任一十进制纯小数 d d d写为 d = ∑ i = − 1 − ∞ r i ⋅ 1 0 i , r i ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , 9 } d = \sum\limits_{i=-1}^{-\infty}r_i\cdot10^{i},r_i\in\{0,1,2,\cdots,9\} d=i=−1∑−∞​ri​⋅10i,ri​∈{0,1,2,⋯,9} 同样地,我们可以像正整数位数的第一个定义一样构造序列 S ′ S' S′,但为了满足我们定义的 n n n位纯小数的位数,这里的位数是 k + 1 k+1 k+1,注意 k ⩽ − 1 k\leqslant-1 k⩽−1.对于无限纯小数,其位数为 − ∞ -\infty −∞.

这样一来在定义一及其在小数上的拓展我们就得到0是一个0位数.

当然这只是一家之言啦(家也称不上),毕竟我也没听过0位数这种说法(狗头).

唔，好像偏题了，因为我们是在试图说明0为什么不是1位数而不是通过比较那个定义更合理来得出结论.

但是通过上面的定义,不论从哪个角度看,从开天辟地看到人类灭绝都看不出来为什么0是1位数.

经过思考,我们可以把0是不是1位数的问题归结为：0到底是一个具体的数字还是表示无值的一个概念？如果0是一个具体的数字,很明显,0在个位上需要占据一个位置,自然可以得出0是一位数.

但如果0表示一个无值的概念呢？

凳子上坐着1个小朋友,你说凳子上那个小朋友好可爱啊,我理解；凳子上坐着10个小朋友,你说好挤啊再拿一个凳子来吧,我觉得你真是一个细心体贴的人；凳子上一个小朋友都没有,你说凳子上坐着的那0个小朋友好可爱啊,我会直接打120.

如果我们把凳子作为数位,有人凳子的个数作为位数的话,没有凳子有人的话,是该叫没有数位被占还是有一（若干）个数位上被0个人占着呢？

如果0是1位数,00是几位数？0100是几位数？

再把这个矛盾抽象一下其实就是集合论与数论的交锋.

集合论认为0属于自然数,而数论认为0不属于自然数.很明显,结合论中的0是有具体意义的,比如 { 0 } \{0\} {0},其真正的零元是 ∅ \varnothing ∅,而数论中的0表示的是实实在在的“无”.其实就是0和零元的关系不同.

举个几例子.摄氏温标中的0度,是一个温度,一个具体的温度,它有具体意义,你不能说0摄氏度没有温度,它比-1摄氏度热而比1摄氏度冷;而绝对温标中的0度,即0开尔文,是真正意义上的“没有温度”.再比如0kg,指的是没有质量,0米,没有长度,这些都是数论意义中的0.