高等数学:第一章 函数与极限(6)极限存在准则、两个重要极限 |
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§1.7 极限存在准则、两个重要极限 一、两边夹准则 如果数列 (1)、 (2)、 那末数列 【证明】因 对于上述 则当 从而有 亦即 这就是说, 准则一还可推广到函数极限的情况: 如果函数 (1)、 成立; (2)、 那么, 二、重要极限之一 证明: 记 从几何图形上可清楚地看出: 于是有两边夹的不等式 而 据两边夹准则, 我们有: 而 由函数的左右极限的性质知, 下面, 我们给出当 【例1】用两边夹法则证明:半径为 正多边形的面积公式为 如下图所示,考虑圆的内接与外接正多边形的面积 显然有: 我们可得到圆的面积公式 至此,利用两边夹法则与1极限,用刘徽割圆术推导出了面圆积公式。借助计算机程序gs0103.m,可给出内外接正多边形夹逼圆面积的数值试验。
【例2】试证明:圆的周长与圆的直径之比为常数 我们知道, 三、单调有界准则 单调有界数列必有极限。 这一准则在几何上是非常显然的。例如:设数列 四、重要极限之二 记 这表明数列 另一方面, 仿上面的形式, 不难写出: 这说明,数列 据准则二, 由 由 运行matlab程序gs0104.m,可得出
利用变量替换 【例3】求 解: 且 原式 = 【例4】求极限 解: 令 通过四个例子,可总结出如下求极限技巧。
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