概率论 |
您所在的位置:网站首页 › 样本方差的期望推导过程 › 概率论 |
概率论 - 样本方差的期望
目录概率论 - 样本方差的期望问题理解
问题
设 \(X_{1},X_{2}...X_{n}\) 是来自总体 \(X\) 的样本,则称 样本方差 \(S^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^2\) 理解从样本方差和总体方差的期望来看。 记 \(X\) 的期望为 \(\mu\) ,方差为 \(\sigma^2\) ,则 \(E\{S^2\}=E\{\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\}\) \(=\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}E [ X_{i}^{2}-2X_{i}\overline{X}+\overline{X}^{2} ]\) 其中, \(E(X_i^2)=D(X_i)+E^2(X_i)=\sigma^2+\mu^2\) \(E(\overline{X}^2)=D(\overline{X})+E^2(\overline{X})\) \(=D(\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i)+E^2(\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i)\) \(=\frac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}D(X_i)+\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}E^2(X_i)\) \(=\frac{1}{n^2}n\sigma^2+\frac{1}{n}n\mu^2\) \(=\frac{1}{n}\sigma^2+\mu^2\) 对于 \(E(X_i\overline{X})\),由于对称性,只考虑 \(E(X_1\overline{X})\)。 \(E(X_1\overline{X})=E[X_1(\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i)]\) \(=\frac{1}{n}E(X_1^2+X_1X_2+X_1X_3+...+X_1X_n)\) \(=\frac{1}{n}(\sigma^2+\mu^2+(n-1)\mu^2)\) \(=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2\) 综合,有 \(E [ X_{i}^{2}-2X_{i}\overline{X}+\overline{X}^{2} ]\) \(=\sigma^2+\mu^2-2(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2)+\frac{1}{n}\sigma^2+\mu^2\) \(=\sigma^2-\frac{1}{n}\sigma^2\) \(=\frac{n-1}{n}\sigma^2\) 即 \(E\{S^2\}=\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n}\sigma^2=\sigma^2\) 也即,样本方差和总体方差的期望一致(无偏)。 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |