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证明傅里叶变换的导数定理
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。它在信 号处理、通信、图像处理等领域中得到了广泛的应用。傅里叶变换 的导数定理是指,对一个函数进行傅里叶变换后,其导数的傅里叶 变换等于原函数的傅里叶变换乘以一个复数变量。
为了证明傅里叶变换的导数定理,我们需要先了解傅里叶变换的基 本概念。傅里叶变换将一个函数 f(t) 表示为一系列正弦和余弦函数的 和,即:
F(ω) = ∫f(t)e^( - iωt)dt
其中, F(ω) 表示 f(t) 的傅里叶变换, ω 表示频率, i 表示虚数单位。 这个公式告诉我们,任何一个函数都可以表示为一系列正弦和余弦 函数的和。
现在,我们来证明傅里叶变换的导数定理。假设 f(t) 的傅里叶变换 为 F(ω) ,那么 f(t) 的导数 f'(t) 的傅里叶变换为:
F'(ω) = ∫f'(t)e^( - iωt)dt
根据分部积分法,可以将上式变为:
F'(ω) = [f(t)e^( - iωt)]_( - ∞)^∞ + iω∫f(t)e^( - iωt)dt
由于 f(t) 在无穷远处趋于零,所以第一项为零。将 F(ω) 代入第二项, |
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