物体从球面顶点下滑问题的研究 |
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刘梅 (安徽师范大学物理与电子信息学院 安徽 芜湖 241000) 杨玉超 (安徽省淮南市第十三中学 安徽 淮南 232072) 冯霞 (安徽师范大学物理与电子信息学院 安徽 芜湖 241000) 在物理教学中,常见到质点自光滑球面顶端滑下的理想问题.对于物体与球面间有摩擦的实际问题,如何分析?有什么规律?本文将采用量纲分析、全微分积分法进行研究,并分析质点自光滑球面顶端滑下的理想问题的几种情况. 1 “物体从球面顶点下滑” 的一般问题【例1】如图1所示,一个质量为m的物块,在重力作用下自一半径为r的固定球面的最高点无初速度滑下.若质点与球面间的摩擦因数为μ,求质点离 开球面时,它与球心的连线和竖直方向夹角θ所满足的关系? 图1 解析:(1)量纲分析法 质点下滑过程中,假定θ与质量m,半径r,重力加速度g,摩擦因数μ有关,即 θ=f(m,r,g,μ) 因为θ是一个无量纲的量,无法把四个量有机结合形成一个无量纲的量,因此θ与μ一个参量有关,即 θ=f(μ) (2)全微分积分法 物体下滑过程中,在球面上受重力、支持力和摩擦力,由于其速率逐渐增加,所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零.由牛顿第二定律得 法向方程 (1) 由动能定理 (2) 消去N得 dv2-2(μv2+grsinθ-μgrcosθ)dθ=0 (3) 式(3)不是全微分方程.把式(3)记为 P(v2,θ)=1 Q(v2,θ)=-2(μv2+grsinθ-μgrcosθ) 设有f(θ)形式的积分因子 以f(θ)乘式(3)两端,得全微分方程 e-2μθdv2-2e-2μθ(μv2+grsinθ-μgrcosθ)dθ=0 (4) e-2μθdv2-2e-2μθμv2dθ-2e-2μθgrsinθdθ+ 2e-2μθμgrcosθdθ=0 d(e-2μθv2)-2e-2μθgrsinθdθ+2e-2μθμgrcosθdθ=0 对上式积分,得方程的通解为 (5) 且当t=0时,将θ=0,v=0代入上式,可得 (6) 所求方程的通解为 (7) 质点离开球面时,N=0,由式(1)得 v2=grcosθ 将上式 代入式(7)得 e-2μθ(3cosθ+6μsinθ)=2(1-2μ2) (8) 即θ所满足的关系 3cosθ+6μsinθ=2(1-2μ2)e2μθ (9) 式(9)符合量纲分析得到的结论即θ只与μ有关. 讨论:若质点与球面间无摩擦μ=0时得 e2μθ=1 (10) 3cosθ=2 (11) 即θ所满足的关系 (12) 2 物体从球面顶点下滑的理想化问题【例2】小物体自半径为R的光滑球面顶点从静止开始下滑,求: (1)物体脱离球面时它与球心的连线与竖直方向夹角θ; (2)小物体落到地面时的速度v. 解析:小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑,从运动学角度看,物体先做圆周运动,脱离后做抛体运动.从动力学角度看,物体在球面上受重力和支持力,物体下滑过程中,由于其速率逐渐增加,所以支持力逐渐减小直到脱离球面减小到零.小物体即将脱离球面的条件是N=0. 解法一:(1)小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑,到即将脱离球面,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒.以球面顶点为势能零点,设物体即将脱离球面的速度为v1,则 (13) 由牛顿第二定律,得 (14) 物体脱离球面条件 N=0 (15) 解得 (16) (2)设小物体落到地面时的速度为v,由机械能守恒得 解得 (17) 物体脱离后做抛体运动,水平方向分速度不变 (18) 设小物体落地时速度与水平方向的夹角为α,所以 (19) (20) 解法二:对于球面上运动的质点,运动轨迹的切线方向上有 (21) 法线方向上有 (22) 由式(21)得 其中,s为运动路程,亦即半圆柱周围弧长.即 vdv=gsinθds 又因为Rdθ=ds,即 vdv=gsinθRdθ (23) 设质点刚离开圆柱面时速度为v,离开点与竖直方向夹角为θ,对式(23)两边积分,得 (24) 刚离开圆柱面时N=0 即 (25) 联立式(24) 、(25) 得 【例3】如图2所示,在光滑水平面上放置一半径为R、质量为M的光滑半球.质量为m的小滑块自球面顶部由静止开始受微小扰动下滑,求:当m=M时,滑块滑至何处(θ为多少)时脱离球面? 图2 解析:滑块脱离半球的瞬间,相对球面的速度为u,沿球面切向;半球对地速度为v,滑块脱离半球后,半球速度不变. (26) 以半球、滑块为系统,水平方向不受外力,动量守恒,则 m(ucosθ-v)-Mv=0 (27) 由系统机械能守恒 (28) 由式(26)~(28)得 cos3θ-6cosθ+4=0 (29) 图3 (2)凡能在O点脱离滑道的小滑块,其落水点到O2的距离为多大? |
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