对于一个特定的问题，只知道描述物理场的方程是不能得到唯一解的。边值关系用于确定实际问题中的边界条件与衔接条件，这样才能得到电磁场的定解。

边值关系描述的是在两种介质的交界处，物理量（E、D、B、H）的切向和法向跃变情况，有如下四种。 { e n × ( E 2 − E 1 ) = 0 e n × ( H 2 − H 1 ) = α e n ⋅ ( D 2 − D 1 ) = σ e n ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{e}_n \times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0 \\ \mathbf{e}_n \times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{\alpha} \\ \mathbf{e}_n \cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\sigma \\ \mathbf{e}_n \cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0 \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧​en​×(E2​−E1​)=0en​×(H2​−H1​)=αen​⋅(D2​−D1​)=σen​⋅(B2​−B1​)=0​

电场强度E 结合图3.1和 e n × ( E 2 − E 1 ) = 0 \mathbf{e}_n \times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0 en​×(E2​−E1​)=0 可以发现，电场强度切向分量是连续的，法向分量存在跃变。

通过取表面的一个圆柱体，可以利用高斯定理计算出切向分量的跃变。则电场强度的边值关系为， { E t 1 = E t 2 E n 2 − E n 1 = σ f + σ p ε 0 \left\{ \begin{array}{l} E_{t1}=E_{t2} \\ E_{n2}-E_{n1}=\frac{\sigma_f+\sigma_p}{\varepsilon_0} \end{array} \right. {Et1​=Et2​En2​−En1​=ε0​σf​+σp​​​ 这里的 σ f \sigma_f σf​ 是自由电荷密度。 σ p \sigma_p σp​是束缚电荷密度。

Figure3.1 磁感应强度的跃变示意图 电位移矢量D 同样地，根据高斯定理，得到D的法向跃变为， D n 2 − D n 1 = σ f D_{n2}-D_{n1}=\sigma_f Dn2​−Dn1​=σf​ 这些式子也蕴含了跃变的原因——介质表面出现自由电荷，这些电荷在导体表面产生电场，使得场量发生了跃变。

磁感应强度B 结合图3.2。由 e n ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 \mathbf{e}_n \cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0 en​⋅(B2​−B1​)=0 ，可以很明显地看出磁场在经过分界面之后，法向分量连续，切向分量不连续，即， B n 1 = B n 2 B_{n1}=B_{n2} Bn1​=Bn2​

Figure3.2 磁感应强度的跃变示意图 磁场强度H 在 e n × ( H 2 − H 1 ) = α \mathbf{e}_n \times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{\alpha} en​×(H2​−H1​)=α 中， \mathbf{\alpha} 为电流密度矢量。根据安培环路定理，磁场强度的切向跃变为， H n 2 − H n 1 = α f H_{n2}-H_{n1}=\alpha_f Hn2​−Hn1​=αf​ 同时也说明，面电流的分布导致了磁场场量的跃变。

在解决实际问题时，我们通常不直接解有关电场强度或者磁场强度的方程，而是解关于势的二阶偏微分方程，即，

Δ φ = f \Delta \varphi=f Δφ=f （f为0时为拉普拉斯方程，不为0时为泊松方程）

为了解这个稳定场方程，还需要足够的边界条件。所以我们还需要找出电势和磁势的边界条件。

根据第三节的分析，在分界面上，电场强度是有跃变的。但这个跃变是有限的，因此对于电荷在分界面上的微小位移，做功为， W = Δ E Δ x → 0 W=\Delta E\Delta x\rightarrow0 W=ΔEΔx→0 因此在介质分界面上的电势是连续的，边界条件可以写为， φ 1 = φ 2 \varphi_1=\varphi_2 φ1​=φ2​

Figure4.1 磁感应强度的跃变示意图 对于电位移矢量的边值关系，我们还能得到一条电势的边界条件。 D 1 − D 2 = ε 1 E 1 − ε 2 E 2 = ε 2 ∂ φ 2 ∂ n − ε 1 ∂ φ 1 ∂ n = − σ D_1-D_2=\varepsilon_1E_1-\varepsilon_2E_2 =\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}-\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=-\sigma D1​−D2​=ε1​E1​−ε2​E2​=ε2​∂n∂φ2​​−ε1​∂n∂φ1​​=−σ 综上，电势的边界条件为， { φ 1 = φ 2 ε 2 ∂ φ 2 ∂ n − ε 1 ∂ φ 1 ∂ n = − σ \left\{ \begin{array}{l} \varphi_1=\varphi_2 \\ \varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}-\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=-\sigma \end{array} \right. {φ1​=φ2​ε2​∂n∂φ2​​−ε1​∂n∂φ1​​=−σ​

电势我们在电磁学中就已经接触过。类比一下电场，则磁场也可以有“势”的概念。但有一个问题——磁场是有旋度的，这使得磁场无法引入标势。

根据 ∇ × B = μ J f \nabla \times \mathbf{B} = \mu\mathbf{J}_f ∇×B=μJf​，可以引入矢势 A \mathbf{A} A ，使得 B = ∇ × A \mathbf{B}= \nabla \times \mathbf{A} B=∇×A ，于是， Δ A = − μ J \Delta\mathbf{A}=-\mu\mathbf{J} ΔA=−μJ 如果我们选取的空间区域包含电流，那么磁场就是个局域的无旋场，通过这样的方式，就可以和电场一样引入标势 φ \varphi φ ，则， Δ φ = − ρ μ 0 \Delta \varphi=-\frac{\rho}{\mu_0} Δφ=−μ0​ρ​ 磁矢势 磁矢势A的环路积分是磁通量，由于B的法向分量是连续的，所以A的法向分量也是连续的。

另外，选取库伦规范， ∇ ⋅ A = 0 \nabla \cdot A=0 ∇⋅A=0，使得切向分量连续（类比电场），综上可得， A 1 = A 2 \mathbf{A_1}=\mathbf{A_2} A1​=A2​ 磁标势 磁标势的引入和电势相同，也有着类似的性质关系。 { φ 1 = φ 2 ∂ φ 2 ∂ n − ∂ φ 1 ∂ n = − α \left\{ \begin{array}{l} \varphi_1=\varphi_2 \\ \frac{\partial\varphi_2}{\partial n}-\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=-\alpha \end{array} \right. {φ1​=φ2​∂n∂φ2​​−∂n∂φ1​​=−α​