AM@两种余项型泰勒公式的对比和总结@常用函数的麦克劳林公式 |
您所在的位置：网站首页 › 麦克劳林公试 › AM@两种余项型泰勒公式的对比和总结@常用函数的麦克劳林公式 |
|
Taylor公式Lagrange型Peano项Note条件
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上有
n
n
n阶连续导数,
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内存在
n
+
1
n+1
n+1阶导数
x
=
x
0
x=x_0
x=x0处存在
n
n
n阶导数前者对
f
(
x
)
f(x)
f(x)要求较高余项
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,
ξ
\xi
ξ是
x
,
x
0
x,x_0
x,x0之间的一个数;或表示为
f
(
n
+
1
)
(
x
0
+
θ
(
x
−
x
0
)
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta{(x-x_0)})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
(n+1)!f(n+1)(x0+θ(x−x0))(x−x0)n+1,
θ
∈
(
0
,
1
)
\theta\in(0,1)
θ∈(0,1)
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)=
o
(
(
x
−
x
0
)
n
)
o((x-x_0)^{n})
o((x−x0)n)前者余项具体,后者仅表达了高阶无穷小用途可用于区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上,例如证明不等式或等式,估计逼近误差仅用于
x
0
x_0
x0的邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0),例如讨论极值,求解
x
→
x
0
x\to{x_0}
x→x0时的极限后者用在某些条件下的求极限问题上,可以带来方便 Lagrnage余项 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)中的 ξ \xi ξ,( ξ \xi ξ为 x , x 0 x,x_0 x,x0间的一个数)可以表示为 x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0+θ(x−x0), θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in{(0,1)} θ∈(0,1) 若 x 0 < x x_0x x0>x,则 ξ ∈ ( x , x 0 ) \xi\in(x,x_0) ξ∈(x,x0), ξ \xi ξ所在区间的跨度为 Δ x = x 0 − x \Delta{x}=x_0-x Δx=x0−x可以表示为 ξ = x + θ Δ x \xi=x+\theta\Delta{x} ξ=x+θΔx= x 0 − θ Δ x x_0-\theta\Delta{x} x0−θΔx= x 0 − θ ( x 0 − x ) x_0-\theta(x_0-x) x0−θ(x0−x)= x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0+θ(x−x0)(2),其中 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)综上,我们可以令 ξ \xi ξ= x 0 + θ ( x − x 0 ) x_0+\theta(x-x_0) x0+θ(x−x0), θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)代替 ξ \xi ξ,( ξ \xi ξ为 x , x 0 x,x_0 x,x0间的一个数),这使得泰勒公式的描述更加简练通常,Lagrange余项更经常被表示为 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( x 0 + θ ( x − x 0 ) ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta{(x-x_0)})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(x0+θ(x−x0))(x−x0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in{(0,1)} θ∈(0,1) |
今日新闻 |
推荐新闻 |
| CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |