在之前的篇章中介绍过的，一个矩阵的特征值可以形成一个n阶多项式的根，称为“特征多项式”。线性方程的求解方法可以用来求这些根，详情可以翻看我之前写过的文章。但这并不是一个有效方法。还有一些更有效的方法是基于特征多项式的性质，当要求解特征值的矩阵是一个三对角矩阵时，使用这种性质可以很容易求出特征值。因此这种方法与前面描述的Householder法转换成三对角矩阵或Lanczos法转换成三对角矩阵变换结合使用非常方便。

在上一篇中，已经介绍过将矩阵转化为三对角等价的非迭代方法。得到n × n系统的特征值方程为 因此，这个问题就成了求行列式方程的根的问题 虽然我们不能直接找到这些根，但想一下上面方程左边行列式的计算 对于 n = 1 对于 n = 2 对于n = 3 可以看出一个递归关系，使det3(λ)可以简单地从det2(λ)和det1(λ)的值来评估。如果使det0(λ) = 1，一般的递归式可以写成下面这样。 因此，对于任何λ值，都可以很快计算λ，并且如果知道根λ = 0的范围，它的值可以通过二分法来计算。难点是把λ代入方程确保它是一个根。由于第二个方程的“主次方程”所具有的一个特殊性质，即“Sturm序列”性质，使得这个问题变得容易得多。

对于n = 5，第二个方程左边的例子如下: |a |的主余子式是虚线勾勒出的子矩阵的行列式，即消去[A]的第n行、(n−1)行得到。[A]的λ值和它的余子式的λ值在下面给出。 从上面的推导中得到，它们的根，也就是它们的特征值。从上表可以看出，[A]n， [A]n−1，[A]n−2等的每一个后续的特征值集合总是从前一个集合插值出来的，即[Ai−1]的特征值总是出现在[Ai]的特征值之间的间隙中。对于所有对称[A]，这种分离性质被发现，称为“Sturm序列”性质。 它最有用的结论是，对于任何猜测的λ， i = 0,1,2，···，n时，deti(λ)符号变化的次数等于比λ值小[A]的的特征值数量。当计数符号变化时，应该设置det0(λ) = 1，并规定deti(λ) = 0不算作变化。 对于上面所示的具体例子，假设λ = 4，计算deti(4)， i = 0,1,2，···，5，得出表格 从det0(4) = 1.0开始，沿表向下移动，我们看到5个符号变化，因此有5个特征值小于4。 现在让我们试试λ = 3.5。在本例中，表格是 我们只看到4个符号变化，因此有4个小于3。5的特征值。这两个结果表明，最大特征值在3.5