李刚豪 杨作义

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 函数f（x）=asinωx+bcosωx （a，b∈R，ω>0）的部分图象如图1所示.

（1） 求a，b，ω的值；

（2） 若关于x的方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈-，上有解，求实数m的取值范围.

★★ 2. 设数列{an}的首项a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）·2n，其中λ>0，n∈N*.

（1） 设bn=，试证明{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

（2） 求数列{an}的前n项和Sn.

★★ 3. 如图2所示，正方形ABCD与顶角为120°的等腰三角形ABE组成了一个平面图形，其中AE=AB=4.如图3所示，翻折正方形所在平面ABCD，使其与平面ABE垂直，F为线段AE的中点.

（1） 若H是线段BD的中点，求证：FH∥平面CDE；

（2） 若H是线段BD上的一个动点，设直线FH与平面ABCD所成角的大小为θ，求tanθ的最大值.

★★ 4. 如图4所示，在四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=.如图5所示，将四边形ABCD沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°.

（1） 求证：AE⊥平面BCD；

（2） 求二面角A-DC-B的余弦值.

★★★ 5. 设函数f（x）=ax3+bx2+cx （a

（1） 求证：0≤0，且对任意的x∈R， f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

★★★ 7. 设直线l：x=ty+与抛物线C：y2=2px（p>0且p为常数）交于A，B两个不同的点，D为抛物线准线上的一点.

（1） 当t=0且△ABD的面积为4时，求抛物线的方程；

（2） 当△ABD为正三角形时，求点D的坐标.

★★★ 8. 已知抛物线C：x2=2py （p>0）的焦点为F，准线为l，圆M：x2+（y-b）2=1关于l对称，焦点F到圆M上所有点的距离的最大值是3.

（1） 求抛物线C的方程和圆M的方程；

（2） 过点N（2t，t2）作抛物线C的切线l1与圆M交于A，B两个不同的点，设F到l1的距离为d，求的取值范围.

★★★ 9. 已知动点P（x，y）到定点F0，p（p>0）的距离比它到x轴的距离大p.

（1） 求点P的轨迹方程C；

（2） 若点P在x轴上方，过点A（0，a）（a>0）的直线与曲线C交于M，N两点，自M，N向直线l：y=-a作垂线，垂足分别为M1，N1.记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，问是否存在λ，使得对任意的a>0，S22=λS1S3恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

中学生天地·高中学习版2013年7期