晚上陪女儿到图书馆看书写作业，顺便做了下2024新课标I卷数学高考压轴题。当时写在餐巾纸上，晚上洗完澡整理成文字如下：

19. 设 m m m 为正整数，数列 a 1 , a 2 , ⋯   , a 4 m + 2 a_1, a_2, \cdots, a_{4 m+2} a1​,a2​,⋯,a4m+2​ 是公差不为 0 的等差数列, 若从中删去两项 a i a_i ai​ 和 a j ( i < j ) a_j(i < j) aj​(i81​.

解: (1) 简单，为了考生熟悉可分数列的定义。 ( 1 , 2 ) , ( 5 , 6 ) , ( 1 , 6 ) (1, 2), (5, 6), (1, 6) (1,2),(5,6),(1,6)

(2) 尝试一下，便不难， m=3 时，有 { 1 , 4 , 7 , 10 3 , 6 , 9 , 12 5 , 8 , 11 , 14 \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} 1, 4, 7, 10\\ 3, 6, 9, 12\\ 5, 8, 11, 14\\ \end{array} \right. \end{aligned} ⎩ ⎨ ⎧​1,4,7,103,6,9,125,8,11,14​​ 14 之后剩下的都是连续的，每连续4个为一组即可。因此 m > 3 m > 3 m>3时，上面的分组方法都成立。

（3）需要冷静思考和大胆猜测验证。

如果 a i + 1 , a i + 2 , … , a j − 1 a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_{j-1} ai+1​,ai+2​,…,aj−1​ 的总数恰好可以整除4，那么剩下的 ( a 1 , … , a i − 1 ) (a_1, \dots, a_{i-1}) (a1​,…,ai−1​), ( a j + 1 , … , a 4 m + 2 ) (a_{j+1}, \dots, a_{4m+2}) (aj+1​,…,a4m+2​) 2 段的总数也可以整除4，因此 i = 4 k + 1 , j = 4 n + 2 , ( k ≤ n ) i = 4k + 1, j = 4n + 2, (k \le n) i=4k+1,j=4n+2,(k≤n) 是一种可分数列的情况。 注： 手写时，我使用m,n字母， i = 4 m + 1 , j = 4 n + 2 , ( m < n ) i=4m+1, j=4n+2, (m < n) i=4m+1,j=4n+2,(m (k + 1)) (i=4k+2,j=4n+1,n>(k+1)) 可满足，观察（2）1-14 和刚才1-10的例子，从 a 4 k + 1 a_{4k+1} a4k+1​开始到 a 4 n + 2 a_{4n+2} a4n+2​，下标从1开始，看作一个新的数列 a 1 , a 2 , … , a 4 ( n − k ) + 2 a_1, a_2, \dots, a_{4(n-k)+2} a1​,a2​,…,a4(n−k)+2​，记 N = ( n − k ) N=(n-k) N=(n−k)，都可以按照下面的规律构造分组 { 1 , N + 1 , 2 N + 1 , 3 N + 1 3 , N + 3 , 2 N + 3 , 3 N + 3 4 , N + 4 , 2 N + 4 , 3 N + 4 ⋮ N + 2 , 2 N + 2 , 3 N + 2 , 4 N + 2 \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} 1, N+1, 2N+1, 3N+1\\ 3, N+3, 2N+3, 3N+3\\ 4, N+4, 2N+4, 3N+4\\ \vdots \\ N+2, 2N+2, 3N+2, 4N+2 \end{array} \right. \end{aligned} ⎩ ⎨ ⎧​1,N+1,2N+1,3N+13,N+3,2N+3,3N+34,N+4,2N+4,3N+4⋮N+2,2N+2,3N+2,4N+2​​ 剩下的2段 a 1 a_1 a1​ 到 a 4 k a_{4k} a4k​ 和 a 4 n + 3 a_{4n+3} a4n+3​到 a 4 m + 2 a_{4m+2} a4m+2​是连续的，且恰好都可以整除4，每连续4个为一组即可。

因此 ( i = 4 k + 2 , j = 4 n + 1 , n > ( k + 1 ) ) (i=4k+2, j=4n+1, n > (k + 1)) (i=4k+2,j=4n+1,n>(k+1))也是可分数列。同样，概率估计约为 P i , j = 1 16 P_{i,j}=\frac{1}{16} Pi,j​=161​。

更精确的概率为： P i , j = m ( m − 1 ) / 2 C 4 m + 2 2 P_{i,j} = \frac{m(m-1)/2}{C_{4m+2}^2} Pi,j​=C4m+22​m(m−1)/2​

因此 P m = ( m + 2 ) ( m + 1 ) / 2 C 4 m + 2 2 + m ( m − 1 ) / 2 C 4 m + 2 2 = m 2 + m + 1 8 m 2 + 6 m + 1 > 1 8 \begin{aligned} P_m &= \frac{(m+2)(m+1)/2}{C_{4m+2}^2} + \frac{m(m-1)/2}{C_{4m+2}^2} \\ &=\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1} \\ & > \frac{1}{8} \end{aligned} Pm​​=C4m+22​(m+2)(m+1)/2​+C4m+22​m(m−1)/2​=8m2+6m+1m2+m+1​>81​​