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2024年高考数学试题（新课标 II卷）一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，满分 40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.1.已知 z=-1- i ，则 z =A. 0 B. 1 C. 2 D. 22.已知命题 p: x∈R， x+1 > 1；命题 q: x> 0，x3= x，则A. p和 q都是真命题 B. p和 q都是真命题C. p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题3.已知向量 a，b满足: a = 1， a+2b = 2，且 b-2a ⊥ b，则 b =A. 12 B.22 C.32 D. 14.某农业研究部门在面积相等的 100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量 (单位: kg )并部分整理如下表所示.亩产 [900，950) [950，1000) [1000，1050) [1050，1150) [1150，1200)频数 6 12 18 24 10根据表中数据，下列结论正确的是A. 100块稻田亩产量的中位数小于 1050 kgB. 100块稻田中亩产量低于 1100 kg的稻田所占比例超过 40%C. 100块稻田亩产量的极差介于 200 kg到 300 kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于 900 kg到 1000 kg之间5.已知曲线C：x2+ y2= 16 y>0 ，从C上任意一点P向 x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为2 y2 2 y2A. x16 + 4 = 1x y>0 B. 16 + 8 = 1 y>0 y2 2C. + x2 y x216 4 = 1 y>0 D. 16 + 8 = 1 y>0 6.设函数 f x = a x+1 2 - 1，g x = cosx+ 2ax (a为常数)，当 x∈ -1，1 时，曲线 y= f x 和 y= g x 恰有一个交点，则 a=A.- 1 B. 12 C. 1 D. 27. ABC-A B C 52已知正三棱台 的体积为 3 ，AB= 6，A1B1= 2，则AA 与平面ABC所成角的正切值为A. 12 B. 1 C. 2 D. 38.设函数 f x = x+a ln x+b ，若 f x ≥ 0，则 a2+ b2的最小值为A. 1 B. 18 4 C.12 D. 11二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，满分 18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得 6分，部分选对得 3分，选错或不选得 0分.9.对于函数 f x = sin2x和 g x = sin(2x- π4 )，下列正确的有A. f x 与 g x 有相同零点 B. f x 与 g x 有相同最大值C. f x 与 g x 有相同的最小正周期 D. f x 与 g x 的图象有相同对称轴10.抛物线C：y2= 4x的准线为 l，P为C上动点，过P作⊙A:x2+ y-4 2 = 1的一条切线，Q为切点．过P作C的垂线，垂足为B，则A. l与⊙A相切 B.当P、A、B三点共线时， PQ = 15C.当 PB = 2时，PA⊥AB D.满足 PA = PB 的点A有且仅有 2个11.设函数 f x = 2x3- 3ax2+ 1 ，则A.当 a> 1时，f x 的三个零点B.当 aC.存在 a,b，使得 x= b为曲线 f x 的对称轴D.存在 a，使得点 1，f 1 为曲线 y= f x 的对称中心三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，满分 15分.12.记Sn为等差数列 an 的前n项和，若 a3+ a4= 7，3a2+ a5= 5 ，则S10= .13.已知 α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+ tanβ= 4，tanαtanβ= 2+ 1，则 sin α+β = .14.在下图的 4 * 4方格表中有 4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是 .1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16四、解答题:本题共 5小题，满分 87分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本题满分 13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 sinA+ 3cosA= 2 .（1）求A；（2）若 a= 2， 2bsinC= csin2B ，求△ABC的周长.216. (本题满分 15分)已知函数 f x = ex- ax- a3 .（1）当 a= 1时，求曲线 y= f x 在点 1，f 1 处的切线方程；（2）若 f x 有极小值，且极小值小于 0，求 a的取值范围.17. (本题满分 15分)如图，平面四边形ABCD中，AB= 8，CD= 3，AD= 5 3，∠ADC= 90°，∠BAD= 30°， 7 1 点E,F满足AE= 5 AD，AF = 2 AB，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC= 4 3 .（1）证明: EF⊥PD；（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.PA DEFCB318. (本题满分 17分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3次，若 3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0分；若至少投中 1次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3次，每次投中得 5分，未投中得 0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独立.（1）若 p= 0.4，q= 0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5分的概率；（2）假设 0(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛 (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛 19. (本题满分 17分)已知双曲线C：x2- y2=m m>0 ，点P1 5,4 在C上，k为常数，0下公式依次构造点 Pn n=2，3， :过点 Pn-1作斜率为 k的直线与 C的左支点交于点Qn-1，令 Pn为Qn-1关于 y轴的对称点，记Pn的坐标为 xn，yn .（1）若 k= 12 ，求 x2,y2；2 1+k（ ）证明:数列 xn-yn 是公比为 的等比数列；1-k（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明:对于任意正整数n，Sn=Sn+1.4部分数据如下表所示：亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论中正确的是().A:100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB:100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过40%C:100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D:100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg答案：解析：5.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()A:·=1(y>0)B:8=1(y>0)16+4=1(g>0)C:y2,x2D:y2,x216+8=1g>0)答案：A.解析：如图，x2+y2=16(y>0).DMOP'设M(a0,0)(0>0),则P'(a0,0),P(ax0,20,代入2+y2=16→号+46=16(0>0).易阁，M的轨连方程为后+号-10>0放底A6.设函数f(x)=a(x+1)2-1,9(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(e)与y=g(x)恰有一个交点，则a=().A:-1B:2C:1D:2答案：D.解析：令f(x)=g(x),则cosx=a(ax2+1)-1,令h(x)=cosx-a(x2+1)+1.因为h(x)为偶函数，且h(x)有唯一零点，所以有h(0)=0,即a=2.故选D.7,已知E三棱台ABC-AB,C的体积为号AB=6AB,=2则AA与平面ABC所成角的正切值为()A:2B:1C:2D:3答案：B.餐折：曲愿意5aa6=V.5a4ac=96易得A0-240=2反所以AM=453AC1B1AB又v-号6+0v3+VW0同0，-婴所以4M=0,=所以，tan∠A1AM=1.故选B8.设函数f(x)=(c+a)ln(x+b),若f(x)≥0，则a2+2的最小值为().A日B:4C:2D:1答案：C解析：f(z)=(x+a)ln(x+b)(x>-b).令g(z)=x+a,h(x)=ln(x+b),则f(x)=g(x)·h(x)≥0.又g(x)单调递增，h(x)单调递增，所以只需[-a,+∞)和[1-b,+oo)满足-a=1-b,则a2+b2=2b2-2b+1,其最小值为方故选C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分9对于函数f)=sin2x和g)=sin2x-牙，下列正确的有(）A:f(x)与g(x)有相同的零点B:f(x)与g(x)有相同的最大值C:f(x)与g(x)有相同的最小正周期D:f(z)与g(x)的图像有相同的对称轴答案：BC解析：分析如下：f(x)=sin2x9)=sn2x-孕零点2z=kx,keZ=(0,k∈z2z-晋=kr.kcZ→g+经0.kez对称轴3+kr,k∈Z+短，ez→r=+空ez2z-牙-+标kez=餐+智2最小正周期2T2T22三π最大值11

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