支持向量数据表达/描述（SVDD；Support Vector Data Description)是一种适用于只有一类数据的分类方法。

可能你会说，开什么玩笑？一类数据分个什么类？

其实，这是一种很常见的应用场景。如机器故障诊断，很多时候，我们能够采集到正常情况下机器的运行数

据，而我们的一个想法是利用这些正常的数据判断机器是否发生故障。因此，对于这个问题，根据不同的应用

场景其实还有另外的一些称呼：如异常检测，开集识别，孤立点检测等等。详细的一些介绍可以参考文献[1]的

介绍。这里，我们聚焦于其中的一种技术，即SVDD。

SVDD的基本思想是建立一个最小的超球体，利用这个超球体去尽可能地包含所有的数据，当要测试一个新的数

据时，我们只需要判断数据是在超球体内还是超球体外就可以实现分类了，如图1所示。

                                                图1 SVDD基本思路示意图

那么问题来了，该如何建立起这个超球体去尽可能地包含所有的数据呢？现在，我们来进行一些分析：

1）我们希望以尽可能小的一个超球体去包含尽可能多的数据，即在建立超球体的过程中需要对超球体的半径做约束；

2）我们希望建立起来的这个超球体有一定的容忍错误的能力，即允许一些异常的数据落在超球体外部，如图1所示；

基于上述考虑，可以建模如下的约束优化问题：

                                                                                                               (1)

该约束优化中，最小化的目标包含两部分：

第一部分希望最小化超球体的半径（这一部分可以看作结构风险）；

第二部分希望超球体具备一定的容错能力（这一部分可以看作经验风险），理想情况下，当所有数据都位于超球体

体内时，经验风险为0。

在该优化问题中，我们添加约束条件 ，与。其中，可看作一个映射函数，它可以将原始

数据映射至一个特征空间中，如支持向量机中的核函数或者神经网络等。是超球体中心， 为超球体半径，为松弛因子。

接下来介绍如何求解上述约束优化问题？如果熟悉支持向量机的求解过程，可以很容易想到这类带约束的优化问题可以

直接套用拉格朗日松弛法。即（为简单起见，这里直接使用，不考虑利用将其映射至某一个特征空间中）：

                 (2)

现在，要最小化，即，利用分别对求导可得：

                                                                                                               （3）

从该求导结果可知，超球体的中心是可以通过所有样本及其对应的系数直接表达出来的。

此外，要，可看作最小化参数：，最大化参数：的过程。即：

因此，结合（3）中的求导结果，最终的优化目标函数可以表达为：

                                                                                                                       (4)

由(4)可知，这是一个二次规划的问题，由于有很多软件都可以对其进行求解。这里就不在对（4）中的求解过程进行深究。

假设我们已经求解出了（4）中的，那么，要如何如何判断新的样本数据是否是在超球体内呢？

由（3）可知，已知，根据可以求取超球体的中心。对应超球体的半径可计算为：

式中，是支持向量，即所对应的样本，由于，求解出来的大多都为0，只有少部分大于0，这部分大于

0所对应的样本可称为支持向量。

现在，已知与，对应一个新的数据,可进行如下计算：

如果，则数据位于超球体外，可判断其为异常值；

如果，则数据位于超球体内，可判断其为正常值；

以上为SVDD的基本思想，若进一步扩展，在（4）式中可利用核函数或者神经网络进行表达：即，这里不在赘述。

参考文献：

[1] Pramuditha Perera，One-Class Classifification: A Survey，2021.

[2] Proefschrift ，One-class classifification，2001.