运动物体的路程函数 S ( t ) S(t) S(t)，时间从 t 0 → t 0 + Δ t t_{0} \rightarrow t_{0}+\Delta t t0​→t0​+Δt，路程 Δ S = S ( t 0 + Δ t ) − S ( t 0 ) \Delta S=S\left(t_{0}+\Delta t\right)-S\left(t_{0}\right) ΔS=S(t0​+Δt)−S(t0​) 平 均 速 度 : Δ S Δ t t 0 时 刻 的 瞬 时 速 度 ： lim ⁡ Δ t → 0 Δ S Δ t = lim ⁡ Δ t → 0 S ( t 0 + Δ t ) − S ( t 0 ) Δ t \begin{aligned} & 平均速度: \frac{\Delta S}{\Delta t} \\ & t_{0} 时刻的瞬时速度：\\ & \quad\quad \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{S\left(t_{0}+\Delta t\right)-S\left(t_{0}\right)}{\Delta t} \end{aligned} ​平均速度:ΔtΔS​t0​时刻的瞬时速度：Δt→0lim​ΔtΔS​=Δt→0lim​ΔtS(t0​+Δt)−S(t0​)​​

求函数曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 上点 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) M0​(x0​,y0​) 处的切线。

设 M 0 M M_0M M0​M 是过 M 0 M_0 M0​ 点的割线，沿曲线 M → M 0 M \rightarrow M_0 M→M0​ 割线极限位置的直线，即切线。

割线斜率：   Δ y Δ x = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}  ΔxΔy​=Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​ 切线斜率：   lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}  Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

横截面很小 ( 为一个单位 ) 的细线棒，置于数轴上原点左侧，从 0 点到 x x x 点处一段质量为 m ( x ) m(x) m(x)，

x 0 → x 0 + Δ x x_{0} \rightarrow x_{0}+\Delta x x0​→x0​+Δx 一段的平均线密度 Δ m Δ x = m ( x 0 + Δ x ) − m ( x 0 ) Δ x \frac{\Delta m}{\Delta x}=\frac{m\left(x_{0}+\Delta x\right)-m\left(x_{0}\right)}{\Delta x} ΔxΔm​=Δxm(x0​+Δx)−m(x0​)​ x 0 x_{0} x0​ 点的线密度 lim ⁡ Δ x → 0 Δ m Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 m ( x 0 + Δ x ) − m ( x 0 ) Δ x \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta m}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{m\left(x_{0}+\Delta x\right)-m\left(x_{0}\right)}{\Delta x} Δx→0lim​ΔxΔm​=Δx→0lim​Δxm(x0​+Δx)−m(x0​)​

若 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0​ 的邻域有定义，则 f ′ ( x 0 ) = d e f lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)\stackrel{d e f}{=}\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} f′(x0​)=defx→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​ 称为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在 x 0 x_0 x0​ 的导数（微商），

自变量增量 Δ x = x − x 0 \Delta x=x-x_0 Δx=x−x0​，函数增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)，也可以用增量的写法： f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → 0 Δ f Δ x f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} f′(x0​)=x→0lim​ΔxΔf​ 导数的等价形式： f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → 0 Δ f Δ x = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim ⁡ x → x 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} f′(x0​)=x→0lim​ΔxΔf​=x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​=x→x0​lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​ 导数的其他记号（等价表述）： y ′ ( x 0 )   ,   y ′ ∣ x = x 0   ,   f ′ ∣ x = x 0   ,   d f ( x 0 ) d x   ,   d f d x ∣ x = x 0   ,   d y d x ∣ x = x 0 y'(x_0) \ , \ \left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}} \ , \ \left.f^{\prime}\right|_{x=x_{0}} \ , \ \frac{d f\left(x_{0}\right)}{d x} \ , \ \left.\frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}} \ , \ \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=x_{0}} y′(x0​) , y′∣x=x0​​ , f′∣x=x0​​ , dxdf(x0​)​ , dxdf​∣∣∣∣​x=x0​​ , dxdy​∣∣∣∣​x=x0​​

表述函数曲线 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 在该点切线的斜率。

当 lim ⁡ Δ x → 0 Δ f Δ x = ∞ \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\infty Δx→0lim​ΔxΔf​=∞ 时导数不存在，但可以说导数为 ∞ \infty ∞，此时曲线在该点切线与 x x x 轴垂直。

左导数与右导数 右 导 数 f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 + Δ f Δ x 左 导 数 f − ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 − Δ f Δ x \begin{aligned} & 右导数\quad f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta f}{\Delta x}\\ & 左导数\quad f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta f}{\Delta x} \end{aligned} ​右导数f+′​(x0​)=Δx→0+lim​ΔxΔf​左导数f−′​(x0​)=Δx→0−lim​ΔxΔf​​

命题 f ′ ( x 0 )   存 在 ⇒ f + ′ ( x 0 ) , f − ′ ( x 0 )   存 在 且 相 等 。 f^{\prime}\left(x_{0}\right)\ 存在\quad \Rightarrow \quad f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right),f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)\ 存在且相等。 f′(x0​) 存在⇒f+′​(x0​),f−′​(x0​) 存在且相等。

小结论 lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + α h ) − f ( x 0 ) h = α f ′ ( x 0 ) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=\alpha f^{\prime}\left(x_{0}\right) h→0lim​hf(x0​+αh)−f(x0​)​=αf′(x0​)

y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在区间 I I I 内每点有导数，在 I I I 的闭端点有单侧导数，

则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 可导，记为 f ( x ) ∈ D ( I ) f(x) \in \mathrm{D}(I) f(x)∈D(I)， f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 称为 f ( x ) f(x) f(x) 的导函数。

注意，开区间内可导和闭区间上可导。

Δ f = f ′ ( x ) Δ x + o ( Δ x ) \Delta f=f^{\prime}(x) \Delta x+o(\Delta x) Δf=f′(x)Δx+o(Δx) 增量公式

对 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 考虑增量 Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) Δy=f(x+Δx)−f(x) 有增量公式 Δ y = f ′ ( x ) Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=f^{\prime}(x) \Delta x+o(\Delta x) Δy=f′(x)Δx+o(Δx) 其中 f ′ ( x ) Δ x f'(x)\Delta x f′(x)Δx 称为线性主部（线性；主要部分）

若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x x x 处的增量 Δ y \Delta y Δy 可表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx)（ A A A 与 Δ x \Delta x Δx 无关，常数）

称 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 可微， A Δ x A\Delta x AΔx 为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在 x x x 处的微分，记为 d y = A Δ x dy=A\Delta x dy=AΔx .（ d y ≈ Δ y dy \approx \Delta y dy≈Δy）

函数曲线在垂直方向上的变化用切线在垂直方向的变化代替。

Δ y \Delta y Δy 与 d y dy dy 的几何意义：(1) Δ y \Delta y Δy：函数纵坐标增量；(2) d y dy dy：切线上纵坐标增量。

若 u ( x ) , v ( x ) ∈ D ( I ) u(x), v(x) \in D(I) u(x),v(x)∈D(I)，则 u ( x ) ± v ( x )   ,   u ( x ) v ( x )   ,   u ( x ) v ( x )    ( v ( x ) ≠ 0 ) u(x) \pm v(x)\ ,\ u(x) v(x)\ ,\ \frac{u(x)}{v(x)}\ \ (v(x) \neq 0) u(x)±v(x) , u(x)v(x) , v(x)u(x)​  (v(x)​=0) 均在 I I I 可导，

且成立 ( 1 )     ( u ( x ) ± v ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) ( 2 )     ( u ( x ) v ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ( 3 )     ( u ( x ) v ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) \begin{aligned} & (1)\ \ \ (u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x) \\ & (2)\ \ \ (u(x) v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) \\ & (3)\ \ \ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)} \end{aligned} ​(1)   (u(x)±v(x))′=u′(x)±v′(x)(2)   (u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)(3)   (v(x)u(x)​)′=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​​ 特别有 ( c u ( x ) ) ′ = c u ′ ( x )   ,   ( 1 v ( x ) ) ′ = − v ′ ( x ) v 2 ( x ) (c u(x))^{\prime}=c u^{\prime}(x)\ , \ \left(\frac{1}{v(x)}\right)^{\prime}=-\frac{v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)} (cu(x))′=cu′(x) , (v(x)1​)′=−v2(x)v′(x)​

x = f ( y ) x=f(y) x=f(y) 在区间 I I I 严格单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)\neq0 f′(y)​=0，则反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x) 在对应 y y y 的 x x x 可导，且 ( f − 1 ( x ) ) ′ = 1 f ′ ( y )   ,   即    d y d x = 1 d x d y    或    y x ′ = 1 x y ′ \left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}(y)}\ ,\ 即\ \ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{d x}{d y}} \ \ 或\ \ y_{x}^{\prime}=\frac{1}{x_{y}^{\prime}} (f−1(x))′=f′(y)1​ , 即  dxdy​=dydx​1​  或  yx′​=xy′​1​

u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x) 在 x x x 可导， f ( u ) f(u) f(u) 在对应 x x x 的 u u u 处可导，则复合函数 f ( φ ( x ) ) f(\varphi(x)) f(φ(x)) 在 x x x 可导，且 ( f ( φ ( x ) ) ) ′ = f ′ ( u ) φ ′ ( x ) = f ′ ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) (f(\varphi(x)))^{\prime}=f^{\prime}(u) \varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) (f(φ(x)))′=f′(u)φ′(x)=f′(φ(x))φ′(x) 或写为 d y d x = d y d u ⋅ d u d x y x ′ = y u ′ u x ′ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \quad \quad y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime} u_{x}^{\prime} dxdy​=dudy​⋅dxdu​yx′​=yu′​ux′​ 链法则：反映复合过程 y → u → x y \rightarrow u \rightarrow x y→u→x

(1) 幂指函数的导数

​ y = f ( x ) g ( x ) ⇒ y = e g ( x ) ln ⁡ f ( x ) y=f(x)^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad y=e^{g(x) \ln f(x)} y=f(x)g(x)⇒y=eg(x)lnf(x)

(2) 幂指函数求导示例

​ 求 y = x sin ⁡ x y=x^{\sin x} y=xsinx 的导数

(1) 对数求导法

​ y = f ( x ) g ( x ) ⇒ ln ⁡ y = g ( x ) ln ⁡ f ( x ) y=f(x)^{g(x)} \Rightarrow \ln y=g(x) \ln f(x) y=f(x)g(x)⇒lny=g(x)lnf(x)

​ 注意，多因子相乘的函数也可用对数求导法

(2) 对数求导法示例

​ 求 y = sin ⁡ x 3 x − 2 ( x − 2 ) 2 3 y=\frac{\sin x \sqrt{3 x-2}}{\sqrt[3]{(x-2)^{2}}} y=3(x−2)2 ​sinx3x−2 ​​ 的导数

​ 问题：初等函数在有定义处都可导吗？

( c ) ′ = 0 ( x α ) ′ = α x α − 1 ( a x ) ′ = a x ln ⁡ x e x = e x ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 , ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( arccot ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 \begin{aligned} &(c)^{\prime}=0 \quad\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} \quad\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln x \quad e^{x}=e^{x} \\ &\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \quad(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \\ &(\sin x)^{\prime}=\cos x \quad(\cos x)^{\prime}=-\sin x \\ &(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x \quad(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x \\ &(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x \quad(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x \\ &(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ &(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \quad(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \end{aligned} ​(c)′=0(xα)′=αxα−1(ax)′=axlnxex=ex(loga​x)′=xlna1​(lnx)′=x1​(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx(tanx)′=sec2x(cotx)′=−csc2x(secx)′=secxtanx(cscx)′=−cscxcotx(arcsinx)′=1−x2 ​1​,(arccosx)′=−1−x2 ​1​(arctanx)′=1+x21​(arccotx)′=1+x21​​

d ( u ± v ) = d u ± d v d ( u v ) = v d u + u d v d ( u v ) = v d u − u d v v 2 \begin{aligned} &d(u \pm v)=d u \pm d v \\ &d(u v)=v d u+u d v \\ &d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v d u-u d v}{v^{2}} \end{aligned} ​d(u±v)=du±dvd(uv)=vdu+udvd(vu​)=v2vdu−udv​​

对 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)，无论 u u u 是自变量还是函数，总有 d y = f ′ ( u ) d u d y=f^{\prime}(u) d u dy=f′(u)du .

Δ f = f ′ ( x ) Δ x + o ( Δ x ) = d f + o ( Δ x ) ⇒ Δ f ≈ d f ⇒    f ( x + Δ x ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) Δ x \begin{aligned} & \Delta f=f^{\prime}(x) \Delta x+o(\Delta x)=d f+o(\Delta x) \\ \Rightarrow &\quad\quad \Delta f \approx d f \\ \Rightarrow &\ \ f(x+\Delta x) \approx f(x)+f^{\prime}(x) \Delta x \end{aligned} ⇒⇒​Δf=f′(x)Δx+o(Δx)=df+o(Δx)Δf≈df  f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)Δx​

若 x x x 为准确值， x 0 x_0 x0​ 为测量值，有以下概念： 绝 对 误 差 : ∣ Δ x ∣ = ∣ x − x 0 ∣ 相 对 误 差 : ∣ Δ x ∣ ∣ x 0 ∣ 最 大 绝 对 误 差 : ∣ Δ x ∣ 不 超 过 δ 最 大 相 对 误 差 : δ ∣ x 0 ∣ 计 算 式 y = f ( x ) 引 起 的 绝 对 和 相 对 误 差 ∣ Δ y ∣ ≈ ∣ f ′ ( x 0 ) ∣ ⋅ ∣ Δ x ∣ ≤ ∣ f ′ ( x 0 ) ∣ δ \begin{aligned} & 绝对误差: |\Delta x|=\left|x-x_{0}\right|\\ & 相对误差: \frac{|\Delta x|}{|x_0|} \\ & 最大绝对误差: |\Delta x|不超过 \delta\\ & 最大相对误差: \frac{\delta}{|x_0|}\\ & 计算式 y=f(x) 引起的绝对和相对误差\\ & \quad |\Delta y| \approx |f'(x_0)|\cdot|\Delta x|\leq|f'(x_0)|\delta \end{aligned} ​绝对误差:∣Δx∣=∣x−x0​∣相对误差:∣x0​∣∣Δx∣​最大绝对误差:∣Δx∣不超过δ最大相对误差:∣x0​∣δ​计算式y=f(x)引起的绝对和相对误差∣Δy∣≈∣f′(x0​)∣⋅∣Δx∣≤∣f′(x0​)∣δ​

原则：利用复合函数求导法，分清哪个是自变量、哪个是因变量（函数）？

参 数 方 程 形 式 函 数 的 导 数    { x = x ( t ) y = y ( t ) t  为参数  利 用 链 法 则    d y d x = d y d t d x d t    或    y x ′ = y t ′ x t ′ \begin{aligned} & 参数方程形式函数的导数\ \ \left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array} \quad t\right. \text { 为参数 }\\ & 利用链法则\ \ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \ \ 或\ \ y_{x}^{\prime}=\frac{y_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}} \end{aligned} ​参数方程形式函数的导数  {x=x(t)y=y(t)​t 为参数 利用链法则  dxdy​=dtdx​dtdy​​  或  yx′​=xt′​yt′​​​

相关变化率问题

圆锥形水池高 H = 10   m H=10 \mathrm{~m} H=10 m，上底面半径 R = 4 m R=4 m R=4m，

以 v = 5 m 3 / m i n v=5 m^{3} / \mathrm{min} v=5m3/min 的速度注水入池，求水深 5 米时池中水面上升的速度。

f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_{0} x0​ 的二阶导数 f ′ ′ ( x 0 ) = d e f ( f ′ ( x ) ) ′ ∣ x = x 0 \left.f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \stackrel{d e f}{=}\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}\right|_{x=x_{0}} f′′(x0​)=def(f′(x))′∣∣∣​x=x0​​ 还可以记为 f ′ ′ ∣ x = x 0  或  d 2 f d x 2 ∣ x = x 0 \left.f^{\prime \prime}\right|_{x=x_{0}} \text { 或 }\left.\frac{d^{2} f}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} f′′∣x=x0​​ 或 dx2d2f​∣∣∣∣​x=x0​​ 若 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 的每点 x x x 有二阶导数，则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 I I I 二阶可导，

f ′ ′ ( x ) f^{\prime \prime}(x) f′′(x) 称为 f ( x ) f(x) f(x) 的二阶导函数 ( 简称二阶导数 ) 。

归纳地定义 f ( n ) ( x 0 ) = ( f ( n − 1 ) ( x ) ) ′ ∣ x = x 0 f^{(n)}\left(x_{0}\right)=\left.\left(f^{(n-1)}(x)\right)^{\prime}\right|_{x=x_{0}} f(n)(x0​)=(f(n−1)(x))′∣∣∣∣​x=x0​​ 称为 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_{0} x0​ 的 n n n 阶导数，可记为 f ( n ) ∣ x = x 0  或  d n f d x n ∣ x = x 0 \left.f^{(n)}\right|_{x=x_{0}} \text { 或 }\left.\frac{d^{n} f}{d x^{n}}\right|_{x=x_{0}} f(n)∣∣∣​x=x0​​ 或 dxndnf​∣∣∣∣​x=x0​​ 若 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 的每点 x x x 有 n n n 阶导数，则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 I I I 上 n n n 阶可导，

f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x) 为 f ( x ) f(x) f(x) 的 n n n 阶导函数。若 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x) 在区间 I I I 连续，记为 f ( x ) ∈ C n ( I ) f(x) \in C^{n}(I) f(x)∈Cn(I) 。

  ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n )   ( c u ) ( n ) = c u ( n )   ( u v ) ( n ) = u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ′ + ⋯ + C n n − 1 u ′ v ( n − 1 ) + u v ( n ) ( 莱 布 尼 兹 法 则 ) \begin{aligned} &\ (u \pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)} \\ &\ (c u)^{(n)}=c u^{(n)} \\ &\ (u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{\prime}+\cdots+C_{n}^{n-1} u^{\prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)} \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (莱布尼兹法则) \end{aligned} ​ (u±v)(n)=u(n)±v(n) (cu)(n)=cu(n) (uv)(n)=u(n)v+Cn1​u(n−1)v′+⋯+Cnn−1​u′v(n−1)+uv(n)(莱布尼兹法则)​

( 1 )    求 由 e y + x y = e 所 确 定 的 隐 函 数 y = y ( x ) 在 x = 0 处 的 二 阶 导 数 ( 2 )    { x = a cos ⁡ t y = b sin ⁡ t    求 二 阶 导 数 d 2 y d x 2 ( 3 )    y = arcsin ⁡ x , 求 y ( n ) ( 0 ) ( 4 )    将 方 程   d 2 y d x 2 − x 1 − x 2 d y d x + y 1 − x = 0   由 变 换   x = cos ⁡ t   化 为   y   关 于   t   的 方 程 。 \begin{aligned} & (1)\ \ 求由 e^{y}+x y=e 所确定的隐函数 y=y(x) 在 x=0 处的二阶导数\\ & (2)\ \ \left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right. \ \ 求二阶导数 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}\\ & (3)\ \ y=\arcsin x, 求 y^{(n)}(0)\\ & (4)\ \ 将方程\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{x}{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}+\frac{y}{1-x}=0 \ 由变换\ x=\cos t \ 化为\ y\ 关于\ t\ 的方程。 \end{aligned} ​(1)  求由ey+xy=e所确定的隐函数y=y(x)在x=0处的二阶导数(2)  {x=acosty=bsint​  求二阶导数dx2d2y​(3)  y=arcsinx,求y(n)(0)(4)  将方程 dx2d2y​−1−x2x​dxdy​+1−xy​=0 由变换 x=cost 化为 y 关于 t 的方程。​