高等数学 宋浩 笔记一 |
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进入对高数的学习啦 函数与极限的概述 满射:每一个像至少有一个变量映射其上 是函数的要素,性质和小例子哇
函数的更多形态
谈到数列的极限求解 对收敛数列极限的探讨 收敛数列极限必唯一 由于极限范围冲突,故极限不唯一矛盾 因为两个数间距离始终为2,无法同时位于所限区间并收敛,故该函数发散 收敛数列必定有界 收敛必定有界,但有界不一定收敛 收敛数列的保号性
对反三角函数图像的一些了解 正式进入函数的极限的学习
左极限和右极限 左极限:即从右至左趋近 右极限:即从左至右趋近
函数极限性质的展开 唯一性 有界性 保号性
无穷小和无穷大 关于极限的运算法则
夹逼准则:函数的夹逼定理 函数的夹逼定理[2] F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A,即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A 则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) 则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x) 即 A≤limf(x)≤A 故 limf(Xo)=A 简单的说:函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X,函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X,这个就是夹逼定理 两个重要极限:lim((sinx)/x)=1(x->0) lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)
合理使用换元是破题关键
准则二:收敛数列必定有界 无穷小的比较 一个重要等价关系 两个重要定理 关于连续的定义以及间断点的认识
定理1(有界性与最大值最小值定理):闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定有最大值和最小值。 这就是说,如果函数 在闭区间 上连续,那么存在常数 ,使得对任一 ,满足 ;且至少有一点 ,使 是 在 上的最大值;又至少有一点 ,使 是 在 上的最小值; 定理2(零点定理):设函数 在闭区间 上连续,且 与 异号(即 ),那么在开区间 内至少有一点 ,使 。
定理3(介值定理):设函数 在闭区间 上连续,且在这个区间的端点取不同的函数值 ,那么对于 与 之间的任意一个数 ,在开区间 内至少有一点 ,使得 。(简言之,闭区间上的连续函数,至少取得介于端点函数值之间的一切值一次。) 证明:设 ,则 在闭区间 上连续,且由于常数 介于 之间,所以 , 异号。根据零点定理,开区间 内至少有一点 使得 ,又 ,因此 。证毕!
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