主要基于2023武忠祥高数强化讲义整理，前面部分整理的还算细致，后面发现时间不太充足，便知总结了大纲，希望可以帮到有需要的人，转载请标明出处

其两个基本要素：定义域和对应规则（依赖关系），当定义域和对应规则完全相同时，它们就是同一个函数

D f ∩ R g ≠ 空集 D_f∩R_g≠空集 Df​∩Rg​=空集

对任意任意 y ∈ R y ，有唯一确定的 x ∈ D ，使得 y = f ( x ) , 则记为 x = f − 1 ( y ) y∈R_y，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f^{-1}(y) y∈Ry​，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f−1(y) ，称其为函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数

​ 在同一直角坐标系中， y = f ( x ) 和 x = f − 1 ( y ) 的图形重合， y = f ( x ) 和 y = f − 1 ( x ) 的图像关于直线 y = x 对称 y=f(x)和 x=f^{-1}(y) 的图形重合，y=f(x)和y=f^{-1}(x)的图像关于直线y=x对称 y=f(x)和x=f−1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f−1(x)的图像关于直线y=x对称

​ 如 y = e x 其反函数可以写为 x = l n y 这时二者是重合的，但如果写成 y = l n x 那么二者就是关于 y = x 对称的 y=e^x 其反函数可以写为 x=ln^y 这时二者是重合的，但如果写成 y=ln^x 那么二者就是关于y=x对称的 y=ex其反函数可以写为x=lny这时二者是重合的，但如果写成y=lnx那么二者就是关于y=x对称的

​ f − 1 ( f ( x ) ) = . . . . . . . f ( f − 1 ( x ) ) = x f^{-1}(f(x))=.......f(f^{-1}(x))=x f−1(f(x))=.......f(f−1(x))=x

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，由基本初等函数经过有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数

单调增/减： x 1 < x 2 , f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ∣ ∣ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) x_1f′(x)是偶函数

​ f ( x ) 是奇函数 − − − − > f ′ ( x ) 是奇函数 f(x)是奇函数---->f'(x)是奇函数 f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是奇函数

​ (3)连续的奇函数其原函数都是偶函数

​ 连续的偶函数其原函数有且仅有一个奇函数

​ f ( x ) 是奇函数，则 ∫ 0 x f ( t ) d t 是偶函数 f(x)是奇函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt 是偶函数 f(x)是奇函数，则∫0x​f(t)dt是偶函数 ( ∫ 0 x f ( t ) d t ) ′ = f ( x ) (\int_{0}^{x}f(t)dt)'=f(x) (∫0x​f(t)dt)′=f(x) ∫ a x f ( t ) d t 是偶函数 \int_{a}^{x}f(t)dt是偶函数 ∫ax​f(t)dt是偶函数 证明：将积分进行拆分，a-0是一

​ 段，其为常数 0-a为一段，其为偶函数，所以偶函数加上一个常数，还是偶函数

​ f ( x ) 是偶函数，则 ∫ 0 x f ( t ) d t 是奇函数 f(x)是偶函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt 是奇函数 f(x)是偶函数，则∫0x​f(t)dt是奇函数

​ 泰勒多项式： f ( x ) + f ′ ( x ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f ( x ) n n ! ( x − x 0 ) n f(x)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f(x)^n}{n!}(x-x_0)^n f(x)+f′(x)(x−x0​)+2!f′′(x)​(x−x0​)2+...+n!f(x)n​(x−x0​)n

​ 偶函数在零点的展开，只有偶次项，无奇次项

​ 奇函数在零点的展开，只有奇次项，无偶次项

f ( a x + b ) 以 T ∣ a ∣ 为周期 f(ax+b)以\frac{T}{|a|}为周期 f(ax+b)以∣a∣T​为周期

判定：(1)利用定义

​ (2)可导函数的周期函数为周期函数

​ (3)周期函数的原函数不一定是周期函数

​ F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t 是以 T 为周期的充要条件 ∫ 0 T f ( x ) d t = 0 F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt是以T为周期的充要条件\int_{0}^{T}f(x)dt=0 F(x)=∫0x​f(t)dt是以T为周期的充要条件∫0T​f(x)dt=0 ∣ s i n x ∣ 、 s i n x 5 、 s i n x 2 |sinx| 、sinx^5、sinx^2 ∣sinx∣、sinx5、sinx2的原函数是否为周期函数

存在M>0,任意 x ∈ I , ∣ f ( x ) ∣ ≤ M x∈I,|f(x)|≤M x∈I,∣f(x)∣≤M，则称 f ( x ) 在 I 上有界 f(x)在I上有界 f(x)在I上有界

判定：(1) 利用定义

​ (2) f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 = = = > f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有界 f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界 f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界

​ (3) f ( x ) 在 ( a , b ) 上连续，且 f ( a + ) 和 f ( b − ) 存在 = = = > f ( x ) 在 ( a , b ) 上有界 f(x)在(a,b)上连续，且f(a^+)和f(b^-)存在===>f(x)在(a,b)上有界 f(x)在(a,b)上连续，且f(a+)和f(b−)存在===>f(x)在(a,b)上有界

​ (4) f ′ ( x ) 在区间 I ( 有限 ) 上有界 = = = > f ( x ) 在 I 上有界 f'(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界 f′(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界 证明在武忠祥讲义第五页

1、P6 例题1 对复合函数定义域的考察

2、P7 例题3 一点的导数推不出区域内的导数

3、P8例题4 自变量改变时，积分区域也要发生变化

​ ( 1 ) lim ⁡ x n = a ( n − > ∞ ) 的几何意义：一定存在 N ， n > N ，即第 N 项以后的点 x n 都落在开区间 ( a − e , a + e ) 内， 而只有有限个 ( 最多有 N 个 ) 在这区间之外 (1)\lim{x_n}=a(n->∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点x_n都落在开区间(a-e,a+e)内，\\而只有有限个(最多有N个)在这区间之外 (1)limxn​=a(n−>∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点xn​都落在开区间(a−e,a+e)内，而只有有限个(最多有N个)在这区间之外

​ (2) 数列极限是否存在，如果存在极限值等于多少，与数列的前有限项无关 武忠祥P9 22年3

​ lim ⁡ x − > 0 s i n ( x ∗ s i n 1 x ) x ∗ s i n 1 x ≠ 1 \lim_{x->0} \frac{sin(x*sin\frac{1}{x})}{x*sin\frac{1}{x}}≠1 limx−>0​x∗sinx1​sin(x∗sinx1​)​=1 解释：（1） 无论去心邻域多么小，总存在 x = 1 n Π = 0 = = = > s i n 1 x = 0 = = = > 分母 x ∗ s i n 1 x = 0 ，在这一点出是没有定义的，不满足极限在 ∗ ∗ 去心领域内处处有定义 ∗ ∗ 这一条件 ( 2 ) 我们使用等价无穷小， x 要满足趋近于 0 但 x ≠ 0 ，显然分子中 x ∗ s i n 1 x 是不满足 x ≠ 0 这一要求的 x=\frac{1}{nΠ}=0===>sin\frac{1}{x}=0===>分母x*sin\frac{1}{x}=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在**去心领域内处处有定义**这一条件\\(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x≠0，显然分子中x*sin\frac{1}{x}是不满足x≠0这一要求的 x=nΠ1​=0===>sinx1​=0===>分母x∗sinx1​=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在∗∗去心领域内处处有定义∗∗这一条件(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x=0，显然分子中x∗sinx1​是不满足x=0这一要求的 3、 f ( x ) 在点 x 0 处的极限是否存在，仅与 f ( x ) 在点 x 0 的去心邻域的函数值有关，与 f ( x 0 ) 在 x 0 是否有定义或者其值等于多少无关 f(x)在点x_0处的极限是否存在，仅与f(x)在点x_0的去心邻域的函数值有关，与f(x_0)在x_0是否有定义或者其值等于多少无关 f(x)在点x0​处的极限是否存在，仅与f(x)在点x0​的去心邻域的函数值有关，与f(x0​)在x0​是否有定义或者其值等于多少无关

4、在某点处有极限==>在去心邻域处处有定义

5、注意极限存在的充要条件是左极限==右极限，会在 分段函数、 e ∞ a r c t a n ∞ 分段函数、e^∞ arctan^∞ 分段函数、e∞arctan∞ 考察

若极限存在，则在该点的某去心邻域内有界，反之，则不成立 反例： f ( x ) = s i n 1 x 反例： f(x)=sin\frac{1}{x} 反例：f(x)=sinx1​

极限正，则函数正 lim ⁡ f ( x ) = A , A > 0 , 则在去心邻域内 f ( x ) > 0 \lim f(x)=A, A>0,则在去心邻域内f(x)>0 limf(x)=A,A>0,则在去心邻域内f(x)>0

函数不负，则极限不负 f ( x ) 在去心邻域内 ≥ 或 > 0 , 则 A ≥ 0 f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0 f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0 例子： f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2

lim ⁡ f ( x ) = A < = = = > f ( x ) = A + α ( x ) , lim ⁡ α ( x ) = 0 \lim f(x)=A f(x)=A+\alpha(x),\lim\alpha(x)=0 limf(x)=Af(x)=A+α(x),limα(x)=0

n项和，且变化部分对主体部分无影响时，使用

主要应用在递推关系证明该数列极限存在

​ 高阶、低阶、同阶、等价、k阶无穷小

​ （1）有限个无穷小的和仍是无穷小

​ （2）有限个无穷小的积仍是无穷小

​ （3）无穷小与有界量的积仍是无穷小

​ x − > + ∞ ， l n α x < < x β < < a x . . . . ( α > 0 , β > 0 , a > 1 ) x->+∞，ln^\alpha x+∞，lnαx + ∞ ， l n α n < < n β < < a n < < n ! < < n n . . . . ( α > 0 , β > 0 , a > 1 ) n->+∞，ln^\alpha n∞​∣an​∣=∣A∣

​ lim ⁡ n − > ∞ a n = 0 < = = = > lim ⁡ n − > ∞ ∣ a n ∣ = 0 \lim_{n->∞}a_n=0\lim_{n->∞}|a_n|=0 limn−>∞​an​=0limn−>∞​∣an​∣=0

方法一：利用有理运算法则 P15武

​ 极限的非零因子可以先提出来

​ 极限的反问题

方法二：利用基本极限

** lim ⁡ n − > ∞ n n = 1 \lim_{n->∞}\sqrt[n]{n}=1 limn−>∞​nn ​=1 lim ⁡ n − > ∞ x n \lim_{n->∞}x^n limn−>∞​xn**的表达式 P16武

方法三：利用等价无穷小代换

x − l n ( 1 + x ) = x 2 2 x-ln(1+x)=\frac{x^2}{2} x−ln(1+x)=2x2​ x − s i n x = x 3 6 x-sinx=\frac{x^3}{6} x−sinx=6x3​ a r c s i n x − x = x 3 6 arcsinx-x=\frac{x^3}{6} arcsinx−x=6x3​ t a n x − x = x 3 3 tanx-x=\frac{x^3}{3} tanx−x=3x3​ x − a r c t a n x = x 3 3 x-arctanx=\frac{x^3}{3} x−arctanx=3x3​

f ( x ) 和 g ( x ) 在 x = 0 的某邻域内连续，且 l i m x − > 0 f ( x ) g ( x ) = 1 , ∫ 0 x f ( t ) d t = ∫ 0 x g ( t ) d t f(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，且lim_{x->0}\frac{f(x)}{g(x)}=1,\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}g(t)dt f(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，且limx−>0​g(x)f(x)​=1,∫0x​f(t)dt=∫0x​g(t)dt

( 1 + f ( x ) ) g ( x ) − 1 = f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) g ( x ) − > 0 ) ) (1+f(x))^{g(x)}-1=f(x)g(x)(f(x)g(x)->0)) (1+f(x))g(x)−1=f(x)g(x)(f(x)g(x)−>0))

乘除关系可换；加减在一定条件下可换，且为分式时，加减代换要注意精度

方法四：利用洛必达法则

f ( X ) 、 g ( x ) 极限极限为 0 ( ∞ ) f(X)、g(x)极限极限为0(∞) f(X)、g(x)极限极限为0(∞)

f ( x ) 、 g ( x ) 在 x 0 去心邻域可导，且 g ′ ( x ) ≠ 0 f(x)、g(x)在x_0去心邻域可导，且g'(x)≠0 f(x)、g(x)在x0​去心邻域可导，且g′(x)=0

求导后的极限存在或等于无穷

方法五：利用泰勒展开公式 P18

只需要记住五个，有四个可以通过等价无穷小处的式子进行推到

方法六：利用夹逼准则

方法七：利用定积分定义

方法八：利用单调有界

主要应用在数列递推处

方法九：利用中值定理

一是用拉格朗日中值定理(比较常用)

∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( c ) ∫ a b g ( x ) d x . . . . a ≤ c ≤ b ， g ( x ) 不变号 \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx....a≤c≤b，g(x)不变号 ∫ab​f(x)g(x)dx=f(c)∫ab​g(x)dx....a≤c≤b，g(x)不变号

(1) 洛必达

(2)等价无穷小代换

(3)泰勒公式

(4)极限非零因子先提出，有理化，变量代换

(1)洛必达

(2)分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

(1)通分

(2)根式有理化

(3)提无穷因子，然后等价代换、泰勒公式

转化为 0 0 或 ∞ ∞ \frac{0}{0}或\frac{∞}{∞} 00​或∞∞​

(1) 凑基本极限

(2)改写成指数后，用洛必达

(3)利用结论： 若 lim ⁡ f ( x ) = 0 , lim ⁡ g ( x ) = 无穷，且 lim ⁡ f ( x ) g ( x ) = A , 则 l i m [ 1 + f ( x ) ] g ( x ) = e A 若\lim f(x)=0,\lim g(x)=无穷，且\lim{f(x)g(x)}=A,则 lim[1+f(x)]^g(x)=e^A 若limf(x)=0,limg(x)=无穷，且limf(x)g(x)=A,则lim[1+f(x)]g(x)=eA

$ 可对比记忆：(1+f(x))^{g(x)}-1=f(x)g(X,(f(x)g(x)->0))$

改写成指数形式

将其转换为函数不定式，原理： l i m x − > ∞ f ( x ) = A = = = > lim ⁡ n − > ∞ f ( n ) = A lim_{x->∞}f(x)=A===>\lim_{n->∞}f(n)=A limx−>∞​f(x)=A===>limn−>∞​f(n)=A

(1)夹逼原理

(2)定积分定义

不随项变化而变化的部分，称为主体部分；随项变化而变化的部分，称为变化部分

当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级就用夹逼原理，而当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级就用定积分定义

(1) 夹逼原理

(2) 取对数转换为n项和

常用方法：(1) 先证数列{ x n x_n xn​}收敛(通常用单调有界)，再令极限=A，通过等式求出A

​ (2)先令极限=A，通过等式，求出极限，最后证明该极限为A

单调性判断常用的三种方法：

​ (1) 通过作差

​ (2) 设 x n {x_n} xn​不变号，作商

​ (3) 设 x n x_n xn​由 x n + 1 = f ( x n ) x_{n+1}=f(x_n) xn+1​=f(xn​), 若f(x)在 I I I上单调增，则当 x 1 ≤ x 2 , f ( x ) 单增； x 1 ≥ x 2 , f ( x ) 单减 x_1≤x_2,f(x)单增；x_1≥x_2,f(x)单减 x1​≤x2​,f(x)单增；x1​≥x2​,f(x)单减

​ 若f(x)在 I I I上单减，则 x n x_n xn​不单调

常用不等式： 2 a b ≤ a 2 + b 2 , s i n x < x < t a n x ( x ∈ [ 0 , 2 Π ] ) 、 e x ≥ 1 + x x 1 + x < l n ( 1 + x ) < x 常用不等式：2ab≤a^2+b^2,sinx0时，f(x)是x的m阶无穷小，g(X)是x的n阶无穷小，则当x−>0时，F(x)=∫0g(x)​f(t)dt是x的n(m+1)阶无穷小若上下限都是关于x的函数，那么找二者的最低阶即可

左极限=右极限=该点函数值

1、概念

f ( X ) 在 x 0 某去心邻域有定义，但在 x 0 处不连续 f(X)在x_0某去心邻域有定义，但在x_0处 不连续 f(X)在x0​某去心邻域有定义，但在x0​处不连续

2、第一类间断点：可去间断点、条约间断点

3、第二类间断点：无穷间断点、震荡间断点(但第二类间断点不知包括这两种)

1、连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍连续

2、基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续

3、闭区间上连续函数的性质：

​ (1) 有界性

​ (2) 最值性

​ (3) 介值性 推论 f ( x ) 在 [ a , b ] 连续，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 可取到介于最小值和最大值之间的任何值 f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]可取到介于最小值和最大值之间的任何值 f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]可取到介于最小值和最大值之间的任何值

​ f ( x ) 在 [ a , b ] 连续，且 f ( a ) f ( b ) < 0 , 则必存在 c ∈ ( a , b ) , 使 f ( c ) = 0 f(x)在[a,b]连续，且f(a)f(b)∞}f(x)，这类题，要先根据x的范围将极限求出来，然后组合成f(x)的表达式 如：limn−>∞​f(x)，这类题，要先根据x的范围将极限求出来，然后组合成f(x)的表达式

​ 明确：介值定理前提是 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间连续，武P47例1

​ f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x − > x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h − > 0 f ( x 0 + h ) − f ( x —— 0 ) h f'(x_0)=\lim_{x->x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\f'(x_0)=\lim_{h->0} \frac{f(x_0+h)-f(x——0)}{h} f′(x0​)=limx−>x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​f′(x0​)=limh−>0​hf(x0​+h)−f(x——0)​

​ 可导左右导数都存在且相等

​ Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o ( Δ x ) , 其中 A 为不依赖于 Δ x 的常数，则称函数 f ( x ) 在 x 0 点处可微 \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x),其中A为不依赖于\Delta x的常数，则称函数f(x)在x_0点处可微 Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)=AΔx+o(Δx),其中A为不依赖于Δx的常数，则称函数f(x)在x0​点处可微

​ A Δ x 称为函数 f ( x ) 在 x 0 点处相应于自变量增量 Δ x 的微分，记为 d y = A Δ x A \Delta x称为函数f(x)在x_0点处相应于自变量增量\Delta x的微分，记为dy=A \Delta x AΔx称为函数f(x)在x0​点处相应于自变量增量Δx的微分，记为dy=AΔx

​ 导数 f ′ ( x 0 ) 在几何上表示为 f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处切线的斜率 导数f'(x_0)在几何上表示为f(x)在点(x_0,f(x_0))处切线的斜率 导数f′(x0​)在几何上表示为f(x)在点(x0​,f(x0​))处切线的斜率

​ 微分 d y = f ′ ( x 0 ) d x 在几何表示为 f ( x ) 的切线上的增量 微分dy=f'(x_0) dx在几何表示为f(x)的切线上的增量 微分dy=f′(x0​)dx在几何表示为f(x)的切线上的增量

​ Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) 在几何上表示曲线 f ( x ) 上的增量， Δ y ≈ d y \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)在几何上表示曲线f(x)上的增量，\Delta y≈dy Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)在几何上表示曲线f(x)上的增量，Δy≈dy

​ 可微–>可导and连续 可导–>连续

​ f ( X ) 可导，推不出 f ′ ( x ) 连续，推不出 f ′ ( x ) 存在 f(X)可导，推不出f'(x)连续，推不出f'(x)存在 f(X)可导，推不出f′(x)连续，推不出f′(x)存在=====> f ( x ) n 阶可导 − − − − > 使用洛必达最多用到 f n − 1 ( x ) f(x)n阶可导---->使用洛必达最多用到f^{n-1}(x) f(x)n阶可导−−−−>使用洛必达最多用到fn−1(x)

​ 经典错误可见 武P51 f ( x ) n 阶连续可导 − − − > 使用洛必达可以用到 f n ( x ) f(x)n阶连续可导--->使用洛必达可以用到f^{n}(x) f(x)n阶连续可导−−−>使用洛必达可以用到fn(x)

​ 注意 l n ∣ x ∣ 的导数为 1 x ln{|x|}的导数为\frac{1}{x} ln∣x∣的导数为x1​

前提： u ( x ) 、 v ( x ) 在 x 处可导 ∗ ∗ ∗ ∗ ，则有， ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ ; ( u v ) ′ = u v ′ + u ′ v ; ( u v = u ′ v − v ′ u v 2 ) 前提：u(x)、v(x)在x处可导****，则有，(u±v)'=u'±v';(uv)'=uv'+u'v;(\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^2}) 前提：u(x)、v(x)在x处可导∗∗∗∗，则有，(u±v)′=u′±v′;(uv)′=uv′+u′v;(vu​=v2u′v−v′u​)

​ 链式求导法

​ 复合函数求导时，考虑利用函数的奇偶性来快速解决

​ f ( x ) 和 g ( x ) 复合为 y = f ( g ( x ) ) 时，在点 x 0 处，若 f ( x ) 、 g ( x ) 导数都存在，则复合函数在该点导数存在，且复合函数的导数值 = f ′ ( u 0 ) g ( x 0 ) ( u 0 = g ( x 0 ) ) 若二者至少有一个不存在，不能退出复合函数在该点不存在，此时，需要写出复合函数的表达式进行判断 f(x)和g(x)复合为y=f(g(x))时，在点x_0处，若f(x)、g(x)导数都存在，则复合函数在该点导数存在，且复合函数的导数值=f'(u_0)g(x_0)(u_0=g(x_0))\\若二者至少有一个不存在，不能退出复合函数在该点不存在，此时，需要写出复合函数的表达式进行判断 f(x)和g(x)复合为y=f(g(x))时，在点x0​处，若f(x)、g(x)导数都存在，则复合函数在该点导数存在，且复合函数的导数值=f′(u0​)g(x0​)(u0​=g(x0​))若二者至少有一个不存在，不能退出复合函数在该点不存在，此时，需要写出复合函数的表达式进行判断

​ 观察注意利用原方程进行化简

f ′ ( x ) = 1 g ′ ( y ) f'(x)=\frac{1}{g'(y)} f′(x)=g′(y)1​ 即 g ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) g'(y)=\frac{1}{f'(x)} g′(y)=f′(x)1​ g ′ ′ ( y ) = d d y ( 1 f ′ ( x ) ) = d d x ( 1 f ′ ( x ) ) ∗ d x d y = − f ′ ′ ( x ) f ′ ( x ) 2 ∗ 1 f ′ ( x ) g''(y)=\frac{d}{dy}(\frac{1}{f'(x)})=\frac{d}{dx}(\frac{1}{f'(x)})*\frac{dx}{dy}=-\frac{f''(x)}{f'(x)^2}*\frac{1}{f'(x)} g′′(y)=dyd​(f′(x)1​)=dxd​(f′(x)1​)∗dydx​=−f′(x)2f′′(x)​∗f′(x)1​

d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)} dxdy​=x′(t)y′(t)​

d 2 y d x 2 = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ 3 ( t ) \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{x'^3(t)} dx2d2y​=x′3(t)y′′(t)x′(t)−x′′(t)y′(t)​

方法： 1 阶导数带公式，二阶导数，要注意是否能带公式，不能带，要用一阶导数进行推导 方法：1阶导数带公式，二阶导数，要注意是否能带公式，不能带，要用一阶导数进行推导 方法：1阶导数带公式，二阶导数，要注意是否能带公式，不能带，要用一阶导数进行推导

​ d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) 1 x ′ ( t ) \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{y'(t)}{x'(t)})\frac{1}{x'(t)} dx2d2y​=dxd​(dxdy​)=dtd​(x′(t)y′(t)​)x′(t)1​

如果出现具体的点，用带公式的方法简单

​ 出现多个因式的乘除、乘幂或是幂指函数的形式，通过先将函数取对数，再对两边x求导，其好处是转换为加减的有理运算

​ 1) 常用公式：

​ ( s i n x ) n = s i n ( x + n Π 2 ) (sinx)^n=sin(x+\frac{nΠ}{2}) (sinx)n=sin(x+2nΠ​) ( c o s x ) n = c o s ( x + n Π 2 ) (cosx)^n=cos(x+\frac{nΠ}{2}) (cosx)n=cos(x+2nΠ​)

​ ( u ± v ) n = u n ± v n (u±v)^n=u^n±v^n (u±v)n=un±vn 若用此公式，会出现n项，所以说，特殊点用该公式比较好 ，如武p66 例二 e x s i n x e^xsinx exsinx求n阶导，不适用此公式

​ ( u v ) n = ∑ k = 0 n C n k u k v n − k (uv)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ku^kv^{n-k} (uv)n=k=0∑n​Cnk​ukvn−k

​ 2)求低阶导数，进行归纳

​ 如 ( a x ± b ) − n 、 l n ( a x ± b ) 本质也是前者的归纳 (ax±b)^{-n}、ln^{(ax±b)}本质也是前者的归纳 (ax±b)−n、ln(ax±b)本质也是前者的归纳

​ 3）利用泰勒公式,具体点用比较合适

​ 将函数 f ( X ) 在该点展开，找到等式右端 x 的 n 次项系数 a n = f n ( x 0 ) n ! = = = = > f n ( x 0 ) = a n ∗ n ! 将函数f(X)在该点展开，找到等式右端x的n次项系数a_n=\frac{f^{n}(x_0)}{n!}====>f^{n}(x_0)=a_n*n! 将函数f(X)在该点展开，找到等式右端x的n次项系数an​=n!fn(x0​)​====>fn(x0​)=an​∗n!

​ 4）高阶三角函数求其n阶导，基本思路是先进行降幂，如武P66 例3

​ 如 给出 x 0 点处的函数值、导数值，让你求一个极限值 给出x_0点处的函数值、导数值，让你求一个极限值 给出x0​点处的函数值、导数值，让你求一个极限值，通常做法是将该极限凑导数的定义，若想使用洛必达，千万注意题目中是否给出了可以使用洛必达的前提，(四)中所写的

​ 还可以用特殊值法，进行求解(比较快)

​ 导数，其本质不还是定义，与（七）相比较，就是要我们自己写出一个极限，然后进行求解

​ 1) f ( x ) 在 x = 0 处连续， l i m x − > 0 f ( x ) − f ( − x ) x 存在，则 f ′ ( x ) 存在 f(x)在x=0处连续，lim_{x->0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}存在，则f'(x)存在 f(x)在x=0处连续，limx−>0​xf(x)−f(−x)​存在，则f′(x)存在 错误的，反例 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=|x| f(x)=∣x∣

​ 这个只能得到 l i m x − > 0 f ( x ) − f ( 0 ) x + f ( − x ) − f ( 0 ) − x 存在 lim_{x->0}\frac{f(x)-f(0)}{x}+\frac{f(-x)-f(0)}{-x}存在 limx−>0​xf(x)−f(0)​+−xf(−x)−f(0)​存在，整体存在

​ 2） f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充要条件： l i m x − > 0 f ( g ( x ) ) h ( x ) = l i m x − > 0 f ( g ( x ) ) − f ( 0 ) g ( x ) ∗ g ( x ) h ( x ) f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件：lim_{x->0}\frac{f(g(x))}{h(x)}=lim_{x->0}\frac{f(g(x))-f(0)}{g(x)}*\frac{g(x)}{h(x)} f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件：limx−>0​h(x)f(g(x))​=limx−>0​g(x)f(g(x))−f(0)​∗h(x)g(x)​

​ 1 ) g ( x ) − > 0 + , 2 ) g ( x ) − > 0 − , g ( x ) h ( x ) 为常数 1)g(x)->0^+,2)g(x)->0^-,\frac{g(x)}{h(x)}为常数 1)g(x)−>0+,2)g(x)−>0−,h(x)g(x)​为常数

​ 3) 设 f ( x ) = g ( x ) ∣ x − a ∣ , 其 g ( x ) 在 x = a 处连续，则 f ( x ) 在 x = a 处可导的充要条件是 g ( a ) = 0 设f(x)=g(x)|x-a|,其g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是g(a)=0 设f(x)=g(x)∣x−a∣,其g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是g(a)=0

​ 4） ∣ x ∣ 在 x = 0 处不可导，而 x ∣ x ∣ 在 x = 0 处可导，那么推广至 ∣ f ( x ) ∣ 在某点处不可导， f ( x ) ∣ f ( x ) ∣ 在该点处可导 |x|在x=0处不可导，而x|x|在x=0处可导，那么推广至|f(x)|在某点处不可导，f(x)|f(x)|在该点处可导 ∣x∣在x=0处不可导，而x∣x∣在x=0处可导，那么推广至∣f(x)∣在某点处不可导，f(x)∣f(x)∣在该点处可导

​ $函数f(x)=|x^3-1|g(x),其中g(x)在x=1处连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的充要条件 $

​ f ( x ) = ( x 2 + x + 1 ) g ( x ) ∣ x − 1 ∣ , ∣ x − 1 ∣ 在 x = 1 处不可导， g ( x ) 在 x = 1 处，连续且 g ( 1 ) = 0 ，所以证得 f ( x ) 在 x = 1 可导 f(x)=(x^2+x+1)g(x)|x-1|,|x-1|在x=1处不可导，g(x)在x=1处，连续且g(1)=0，所以证得f(x)在x=1可导 f(x)=(x2+x+1)g(x)∣x−1∣,∣x−1∣在x=1处不可导，g(x)在x=1处，连续且g(1)=0，所以证得f(x)在x=1可导

​ 5） f ( x ) 与 ∣ f ( x ) ∣ 可导性的关系 f(x)与|f(x)|可导性的关系 f(x)与∣f(x)∣可导性的关系

​ f ( x ) 连续，若 f ( x 0 ) ≠ 0 , 则 f ( x ) 在 x = 0 处可导 < = = = > ∣ f ( x ) ∣ 在 x = x 0 处可导 f(x)连续，若f(x_0)≠0,则f(x)在x=0处可导|f(x)|在x=x_0处可导 f(x)连续，若f(x0​)=0,则f(x)在x=0处可导∣f(x)∣在x=x0​处可导

​ f ( x 0 ) = 0 , 则 f ′ ( x 0 ) = 0 < = = = > ∣ f ( x 0 ) ∣ 在 x 0 处可导 f(x_0)=0,则f'(x_0)=0|f(x_0)|在x_0处可导 f(x0​)=0,则f′(x0​)=0∣f(x0​)∣在x0​处可导

​ 1）直角坐标下的隐函数、参数方程，求解切线、法线

​ 2）极坐标下的方程，求解直角坐标下的切线、法线

​ 做法：可以利用x、y与r、角度的关系，变为直角坐标下的隐函数求导

​ 也可以，将其改写为x、y关于角度的参数方程进行求导

​ f ( x ) 在 [ a , b ] 区间上连续，在 ( a , b ) 区间上可导，且 f ( a ) = f ( b ) , 则至少存在一点 c ∈ ( a , b ) , 有 f ′ ( c ) = 0 f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，且f(a)=f(b),则至少存在一点c∈(a,b),有f'(c)=0 f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，且f(a)=f(b),则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)=0

​ f ( x ) 在 [ a , b ] 区间上连续，在 ( a , b ) 区间上可导，则至少存在一点 c ∈ ( a , b ) , 有 f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，则至少存在一点c∈(a,b),有f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} f(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导，则至少存在一点c∈(a,b),有f′(c)=b−af(b)−f(a)​

​ f ( x ) 、 g ( x ) 在 [ a , b ] 区间上连续，在 ( a , b ) 区间上可导 , 且 f ′ ( x ) ≠ 0 ，则至少存在一点 c ∈ ( a , b ) , 有 f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) f(x)、g(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导,且f'(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b),有\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} f(x)、g(x)在[a,b]区间上连续，在(a,b)区间上可导,且f′(x)=0，则至少存在一点c∈(a,b),有g′(c)f′(c)​=g(b)−g(a)f(b)−f(a)​

​ 这里主要关注带有拉格朗日余项的泰勒公式： R n ( x ) = f n + 1 ( x ) ( x − x 0 ) n + 1 ( n + 1 ) ! R_n(x)=\frac{f^{n+1}(x)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} Rn​(x)=(n+1)!fn+1(x)(x−x0​)n+1​

​ 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，尤其是拉格朗日定理，建立了函数在区间上的变化与函数在该区间上某一点的导数的关系，从而使我们能够利用导数来研究函数在区间上的整体性态

​ 泰勒定理的拉格朗日余项，则给我们建立了函数与高阶导数的关系，有些感觉比较难的题，尤其是它还给了某一个点很多信息，通常都可以用泰勒来解决，如武P78例8、武P80 例4

​ 拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特例，当n=0时，也是柯西中值定理的特例，当g(x)=x时

​ 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，当f(a)=f(b)时

​ $ f(x)在x=x_0去心邻域内有定义，且该去心邻域的任何一点f(x)f(x_0))，\则称x_0是f(x)的一个极大值(极小值)点$

​ 函数在闭区间[a,b]上的极值，只能在(a,b)上取到，端点处不可能取极值，原因是，端点处不可能存在去心邻域

​ 函数在闭区间[a,b]上的最值在开区间(a,b)上取得，那么，函数在该点处必然是极值点

​ f ( x ) 在点 x 0 处可导，且该点为极值点，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f(x)在点x_0处可导，且该点为极值点，则f'(x_0)=0 f(x)在点x0​处可导，且该点为极值点，则f′(x0​)=0

​ 我们称导数为零的点是驻点，也就是说，极值点必定为驻点

​ 对于一般的函数，极值点的取值只可能在驻点和导数不存在的点

​ 第一充分条件

​ 设 f ( x ) 在 x 0 处可导 ( 或 f ( x ) 在 x 0 处连续 ) ，且在 x 0 的去心邻域内可导 设f(x)在x_0处可导(或f(x)在x_0处连续)，且在x_0的去心邻域内可导 设f(x)在x0​处可导(或f(x)在x0​处连续)，且在x0​的去心邻域内可导

​ 若去心邻域的左半部分 f ′ ( x ) 都＞ 0 ，右半部分 f ( x ) 都＜ 0 ，则 x 0 是极大值 若去心邻域的左半部分f'(x)都＞0，右半部分f(x)都＜0，则x_0是极大值 若去心邻域的左半部分f′(x)都＞0，右半部分f(x)都＜0，则x0​是极大值

​ 若去心邻域的左半部分 f ′ ( x ) 都＜ 0 ，右半部分 f ( x ) 都＞ 0 ，则 x 0 是极小值 若去心邻域的左半部分f'(x)都＜0，右半部分f(x)都＞0，则x_0是极小值 若去心邻域的左半部分f′(x)都＜0，右半部分f(x)都＞0，则x0​是极小值

​ 若在去心邻域内， f ′ ( x ) 的符号保持不变，则 f ( x ) 在该去心邻域内没有极值点 若在去心邻域内，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在该去心邻域内没有极值点 若在去心邻域内，f′(x)的符号保持不变，则f(x)在该去心邻域内没有极值点

​ 第二充分条件：局限性，要求二阶可导，且不能判断倒数不存在的点

​ f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 ，则 x 0 点为极值点 f'(x_0)=0,f''(x_0)≠0，则x_0点为极值点 f′(x0​)=0,f′′(x0​)=0，则x0​点为极值点

​ 若 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 , 则 x 0 为极小值点 若f''(x_0)>0,则x_0为极小值点 若f′′(x0​)>0,则x0​为极小值点

​ 若 f ′ ′ ( x 0 ) ＜ 0 ，则 x 0 为极大值点 若f''(x_0)＜0，则x_0为极大值点 若f′′(x0​)＜0，则x0​为极大值点

​ 第三充分条件

​ f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) = 0 , . . . . . , f n ( x 0 ) ≠ 0 , 则当 n 为偶数时， f ( x ) 在 x 0 有极值点，且 f n ( x 0 ) > 0 , 为极小值， f n ( x 0 ) ＜ 0 ，为极大值 当 n 为奇数时，不是极值点 f'(x_0)=0,f''(x_0)=0,.....,f^n(x_0)≠0,\\则当n为偶数时，f(x)在x_0有极值点，且f^n(x_0)>0,为极小值，f^n(x_0)＜0，为极大值\\当n为奇数时，不是极值点 f′(x0​)=0,f′′(x0​)=0,.....,fn(x0​)=0,则当n为偶数时，f(x)在x0​有极值点，且fn(x0​)>0,为极小值，fn(x0​)＜0，为极大值当n为奇数时，不是极值点

​ 第一步：求出开区间内的驻点和不可导点

​ 第二步：求出驻点、不可导点、端点的函数值

​ 第三步：进行比较

​ ★注：当闭区间[a,b]上有唯一极大值(极小值)点时，则它也是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值)点

​ f ( x ) 在区间 I 上连续，对 I 上的任意两点 x 1 , x 2 f(x)在区间I上连续，对I上的任意两点x_1,x_2 f(x)在区间I上连续，对I上的任意两点x1​,x2​

​ f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 , 则称 f ( x ) 在区间 I 上是凸的 f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},则称f(x)在区间I上是凸的 f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​,则称f(x)在区间I上是凸的

​ f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 , 则称 f ( x ) 在区间 I 上是凹的 f(\frac{x_1+x_2}{2})0,则f(x)是凹的，在区间I上是0,则f(x)是凹的，在区间I上是交叉相乘

​ 不要求c≠d ：在同一区间用两次中值定理(拉格朗日中值定理、柯西中值定理)

​ 要求c不等于d，要将区间[a,b]划分为两个子区间，在两个子区间上分别进行拉格朗日中值定理

​ 对于要划分区间的，有的题目会有第一问，通常第一问就是我们第二问划分区间的中间点

​ 若没有第一问，那么就需要我们自己来找中间点，通常的做法是采用逆推法，即我们自己假设一个中间点c，然后进行两次拉格朗日中值定理，对整理后的式子，我们进行观察，看c的取值

​ 这种函数与高阶导数的关系式，我们通常采用带拉格朗日余项的泰勒公式

​ 其中在选点方面，我们选择题目中给出的信息最多的点来作为 x 0 x_0 x0​ ,当有有的点存在导数信息时，优先采取该点作为 x 0 x_0 x0​,将其他点作为x带入泰勒公式中

在区间 I 上， F ′ ( x ) = f ( x ) 或 d F ( x ) = f ( x ) d x 在区间上处处成立，则称 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数 如果 F ( x ) 是 f ( X ) 的一个原函数，那么 F ( x ) + c 都是 f ( x ) 的原函数，且是其全部原函数 在区间I上，F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx在区间上处处成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数\\如果F(x)是f(X)的一个原函数，那么F(x)+c都是f(x)的原函数，且是其全部原函数 在区间I上，F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx在区间上处处成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数如果F(x)是f(X)的一个原函数，那么F(x)+c都是f(x)的原函数，且是其全部原函数

在区间 I 上，函数 f ( x ) 带有任意常数的原函数，称为 f ( x ) 在区间 I 上的不定积分，记为 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + c 在区间I上，函数f(x)带有任意常数的原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为\int f(x)dx=F(x)+c 在区间I上，函数f(x)带有任意常数的原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+c

​ 若 f ( x ) 在区间 I 上连续，则 f ( x ) 在区间 I 上必定存在原函数 若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必定存在原函数 若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必定存在原函数

​ 若 f ( x ) 在区间 I 上存在第一类间断点，则 f ( X ) 在区间 I 上必定不存在原函数 若f(x)在区间I上存在第一类间断点，则f(X)在区间I上必定不存在原函数 若f(x)在区间I上存在第一类间断点，则f(X)在区间I上必定不存在原函数

( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) (\int f(x)dx)'=f(x) (∫f(x)dx)′=f(x) d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) d x d\int f(x)dx=f(x)dx d∫f(x)dx=f(x)dx ∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + c \int f'(x)dx=f(x)+c ∫f′(x)dx=f(x)+c ∫ d f ( x ) = f ( x ) + c \int df(x)=f(x)+c ∫df(x)=f(x)+c

∫ 1 a 2 + x 2 = l n ∣ x + a 2 + x 2 ∣ + c \int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}=ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+c ∫a2+x2 ​1​=ln∣x+a2+x2 ​∣+c ∫ 1 x 2 − a 2 = l n ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + c \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c ∫x2−a2 ​1​=ln∣x+x2−a2 ​∣+c

∫ 1 a 2 − x 2 = 1 2 a l n ∣ a + x a − x ∣ \int\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}| ∫a2−x21​=2a1​ln∣a−xa+x​∣

​ 三角换元，倒数换元

​ 原则是将容易找到原函数的放到 d u ( x ) 中，如 p n ( x ) 是 n 次多项式，当其与 e a x 、 s i n a x 、 c o s a x 一起出现时，将后者放入 d u ( x ) 中 原则是将容易找到原函数的放到du(x)中，如p_n(x)是n次多项式，当其与e^{ax}、sinax、cosax一起出现时，将后者放入du(x)中 原则是将容易找到原函数的放到du(x)中，如pn​(x)是n次多项式，当其与eax、sinax、cosax一起出现时，将后者放入du(x)中

​ 若 p n ( x ) 与 l n x , a r c t a n x 、 a r c s i n x 一起出现时，将前者放入 d u ( x ) 若p_n(x)与ln^x,arctanx、arcsinx 一起出现时，将前者放入du(x) 若pn​(x)与lnx,arctanx、arcsinx一起出现时，将前者放入du(x)

​ 若 e a x 与 s i n a x 、 c o s a x 一起出现时，可连续两次将指数函数凑进微分号分部换元求得 若e^{ax}与sinax、cosax一起出现时，可连续两次将指数函数凑进微分号分部换元求得 若eax与sinax、cosax一起出现时，可连续两次将指数函数凑进微分号分部换元求得

​ 1）有理函数积分

​ 一般方法：部分分式法

​ 特殊方法：加项减项拆项或凑微分降幂

​ 2）三角有理式

​ 一般方法： t a n x 2 = t , s i n x = 2 t a n x x 1 + t a n 2 x 2 tan\frac{x}{2}=t,sinx=\frac{2tan\frac{x}{x}}{1+tan^2\frac{x}{2}} tan2x​=t,sinx=1+tan22x​2tanxx​​ t a n x = 2 t a n x x 1 − t a n 2 x 2 tanx=\frac{2tan\frac{x}{x}}{1-tan^2\frac{x}{2}} tanx=1−tan22x​2tanxx​​ c o s x = 1 − t a n 2 x 2 1 + t a n 2 x 2 cosx=\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}} cosx=1+tan22x​1−tan22x​​

​ 特殊方法：三角变形、换元、分部

​ 几种常用的换元法：

​ R ( − s i n x , c o s x ) = − R ( s i n x , c o s x ) , 则令 u = c o s x , 即凑 d c o s x R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=cosx,即凑dcosx R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=cosx,即凑dcosx

​ R ( s i n x , − c o s x ) = − R ( s i n x , c o s x ) , 则令 u = s i n x , 即凑 d s i n x R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=sinx,即凑dsinx R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=sinx,即凑dsinx

​ R ( − s i n x , − c o s x ) = − R ( s i n x , c o s x ) , 则令 u = t a n x , 即凑 d t a n x R(-sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=tanx,即凑dtanx R(−sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令u=tanx,即凑dtanx

​ 3）简单无理函数

​ 分子分母同次，将其转换为有理函数

​ 不可积(原函数不是初等函数的)，如 ∫ e x 2 \int e^{x^2} ∫ex2，在多元积分中，用交换位次积分解决

​ ∫ e x − 1 d x , 令 = t , 进行有理化 \int \sqrt{e^x-1}dx,令\sqrt{}=t,进行有理化 ∫ex−1 ​dx,令 ​=t,进行有理化

​ 存在 e a x 的分式，经常分子分母上下同乘 e − a x 解决 存在e^{ax}的分式，经常分子分母上下同乘e^{-ax}解决 存在eax的分式，经常分子分母上下同乘e−ax解决

​ 复合函数求积分，武P101例题4

​ 给出 f ( X ) 的一个原函数，让你求 ∫ g ( x ) f ′ ( x ) d x , 用分部积分，这样可以得到 f ( x ) , 那么题目中给出的条件就可以用到，武 P 100 例 2 给出f(X)的一个原函数，让你求\int g(x)f'(x)dx,用分部积分，这样可以得到f(x),那么题目中给出的条件就可以用到，武P100例2 给出f(X)的一个原函数，让你求∫g(x)f′(x)dx,用分部积分，这样可以得到f(x),那么题目中给出的条件就可以用到，武P100例2

​ 在区间 [ a , b ] 上任意插入 n − 1 个点，将区间分为 n 个小区间 [ x i − 1 , x i ] ， f ( i ) x i 在区间上做连续求和，并且满足 n 个小区间中最大的区间是趋近于 0 的， 那么这个这个求和极限值就是该区域的定积分 在区间[a,b]上任意插入n-1个点，将区间分为n个小区间[x_{i-1},x_{i}]，f(i)x_i在区间上做连续求和，并且满足n个小区间中最大的区间是趋近于0的，\\那么这个这个求和极限值就是该区域的定积分 在区间[a,b]上任意插入n−1个点，将区间分为n个小区间[xi−1​,xi​]，f(i)xi​在区间上做连续求和，并且满足n个小区间中最大的区间是趋近于0的，那么这个这个求和极限值就是该区域的定积分

注：定积分表示一个数值，取决于积分区间和被积函数，与积分变量无关，即 ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( t ) d t \int f(x)dx=\int f(t)dt ∫f(x)dx=∫f(t)dt

​ 定积分不依赖于区间[a,b]的分法，也不依赖于点i的取法

​ 若定积分去区间[0,1]上n等分，那么这里存在一个定积分和极限求值的题型，即将极限求职转换为求定积分的值，可见极限笔记处

​ 就是函数与x轴围成的面积，在上方，值为正；在下方值为负；上下方都存在，则为差

​ 函数 f ( x ) 在区间上可积，则该函数在该区间上必定有界 函数f(x)在区间上可积，则该函数在该区间上必定有界 函数f(x)在区间上可积，则该函数在该区间上必定有界，后者不能推导前者的反例是迪利克雷函数

​ 函数 f ( x ) 在区间上连续，则该函数在该区间上必定可积 函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上必定可积 函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上必定可积

​ 函数 f ( X ) 在区间上有有限个间断点，且有界，则函数在该区间上必定可积 函数f(X)在区间上有有限个间断点，且有界，则函数在该区间上必定可积 函数f(X)在区间上有有限个间断点，且有界，则函数在该区间上必定可积

​ 函数 f ( X ) 在区间上有有限个第一类间断点，则该函数在该区间上必定可积 函数f(X)在区间上有有限个第一类间断点，则该函数在该区间上必定可积 函数f(X)在区间上有有限个第一类间断点，则该函数在该区间上必定可积

​ 这里注意积分上下限也要换掉

​ 给出f(X)，让你求f(x)的积分，此时用分部积分 武P109例6

​ ∫ 0 Π 2 s i n n x d x = ∫ 0 Π 2 c o s n x d x = n − 1 n ∗ . . . ∗ 1 2 ∗ Π 2 ， n 为偶数 \int_{0}^{\frac{Π}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{Π}{2}}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}*...*\frac{1}{2}*\frac{Π}{2}，n为偶数 ∫02Π​​sinnxdx=∫02Π​​cosnxdx=nn−1​∗...∗21​∗2Π​，n为偶数

​ n − 1 n ∗ . . . ∗ 2 3 , n 为大于 1 的奇数 \frac{n-1}{n}*...*\frac{2}{3},n为大于1的奇数 nn−1​∗...∗32​,n为大于1的奇数

​ x 多项式 ，通常考虑将其配方，进行三角代换 \sqrt{x多项式}，通常考虑将其配方，进行三角代换 x多项式 ​，通常考虑将其配方，进行三角代换

​ 若 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续，则 ∫ a x f ( t ) d t 在 [ a , b ] 上可导，且 ( ∫ a x f ( t ) d t ) ′ = f ( x ) 若f(x)在[a，b]上连续，则\int_{a}^{x}f(t)dt在[a,b]上可导，且(\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x) 若f(x)在[a，b]上连续，则∫ax​f(t)dt在[a,b]上可导，且(∫ax​f(t)dt)′=f(x)

​ 连续性： 若 f ( X ) 在 [ a , b ] 上可积，则 ∫ a b f ( t ) d t 在 [ a , b ] 上连续 若f(X)在[a,b]上可积，则\int_{a}^{b}f(t)dt在[a,b]上连续 若f(X)在[a,b]上可积，则∫ab​f(t)dt在[a,b]上连续

​ 可导性： 如果 f ( X ) 在 [ a , b ] 上，除了 x 0 处外均连续，则在点 x 0 处 如果f(X)在[a,b]上，除了x_0处外均连续，则在点x_0处 如果f(X)在[a,b]上，除了x0​处外均连续，则在点x0​处

​ f ( x ) f(x) f(x) F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫ax​f(t)dt

​ (1)连续 可导，且 F ′ ( x 0 ) = f ( x 0 ) F'(x_0)=f(x_0) F′(x0​)=f(x0​)

​ (2)可去 可导，且 F ′ ( x 0 ) = l i m x − > x 0 f ( x ) F'(x_0)=lim_{x->x_0}f(x) F′(x0​)=limx−>x0​​f(x)

​ (3)跳跃 连续但不可导，且 F − ′ ( x 0 ) = f ( x 0 − ) , F + ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + ) F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^+) F−′​(x0​)=f(x0−​),F+′​(x0​)=f(x0+​)

​ 奇偶性

​ 若 f ( x ) 为偶函数，则 ∫ 0 x f ( t ) d t 为奇函数 若f(x)为偶函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt为奇函数 若f(x)为偶函数，则∫0x​f(t)dt为奇函数

​ 处理变上限积分常用的三种解法：

​ 洛必达法则 等价无穷小代换 积分中值定理

​ 若 f ( x ) ≤ g ( x ) , x ∈ [ a , b ] , 则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x 若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则\int_{a}^{b}f(x)dx≤\int_{a}^{b}g(x)dx 若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx

​ 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，则 ( b − a ) m ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ( b − a ) M 若f(x)在[a,b]上连续，则(b-a)m≤\int_{a}^{b}f(x)dx≤(b-a)M 若f(x)在[a,b]上连续，则(b−a)m≤∫ab​f(x)dx≤(b−a)M

​ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x |\int_{a}^{b}f(x)dx|≤\int_{a}^{b}|f(x)|dx ∣∫ab​f(x)dx∣≤∫ab​∣f(x)∣dx

​ 若 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 连续，则 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) f ( c ) , a < c < b 若f(x)在区间[a,b]连续，则\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(c),a1 收敛 否则发散

​ 暇点

​ 判别其是否收敛的方法：

​ 比较判别法

​ 比较法的极限形式

​ 常用结论 ∫ a b , a 为暇点， ( x − a ) p \int_{a}^{b},a为暇点，(x-a)^p ∫ab​,a为暇点，(x−a)p ∫ a b , b 为暇点， ( b − x ) p \int_{a}^{b},b为暇点，(b-x)^p ∫ab​,b为暇点，(b−x)p p