【高等数学】微积分 |
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在开头前请一定要记住一个很重要的东西:dx 的增长并没有以下图例所示的那么大,一般是越接近于 0 越好,比如dx = 0.0000000001 ,只是为了更加直观地查看到图形的变化,所以以下例子将其放大,很多时候变量 x 增加一丢丢意味着在公式里面可以被忽略,或者在圆中增加一丢丢变量 x 所组成的三角形,圆的弧形可以近似看作直线~ 话接上篇:【高等数学】微积分----教你如何简单地推导求导公式(一) 我们继续讲解下几个函数的几何推导 ——————————————下面是正文———————————————— 一.f(x) = 1/x 的求导对于该函数,可以这样设想:有什么函数f(x)可以使得公式 f(x) * x = 1 ?结果可以轻而易举地得出是 f(x) = 1/x ,所以几何图形可以这样子来描绘: 而从导数层面来理解,就可以假设:如果当变量 x 增加一丢丢的时候(专业符号为 dx ),那么 f(x) 将会增加多少呢?注意,由于面积固定为 1,所以长方体长短变化并不会影响面积: 如此,利用变量 x 增加一丢丢会导致 1/x 减少但是面积依旧保持不变这个特征,可以得出以下公式: 三角函数的求导公式推理比较简单,可以利用圆来进行验证: 正弦函数 sin(a) 以及余弦函数 cos(a) 在直角三角形上分别等于两条边的比值,如在上图中可以这样来表示:
所以,sin(a) 可以代表三角线的高,cos(a) 代表三角形的长。根据导数层面来理解,就可以假设:如果当变量 a 增加一丢丢的时候(专业符号为 da ),那么 f(x) (d[sin(a)])将会增加多少呢? 可以轻易的证明得,图上的小三角形与大三角形是相似的,所以求出其导数公式为: 而公式 cos(a) 也如法炮制: 可以看到的是,当变量 a 增加一丢丢之后,得到的改变 d(cos(a)) 是比原来减少的,所以最后的得到的 d(cos(a)) 应该为负: 参考文献:www.patreon.com/3blue1brown |
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