定理1（格林公式） 设平面有界闭区域 ( σ ) (\sigma) (σ)由一条分段光滑的简单闭曲线所围成， ( σ ) (\sigma) (σ)的边界曲线记为 ( C ) (C) (C)，函数 P , Q ∈ C ( 1 ) ( ( σ ) ) P,Q\in C^{(1)}((\sigma)) P,Q∈C(1)((σ))，则 ∬ ( σ ) ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d σ = ∮ ( + C ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \iint\limits_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text d\sigma=\oint_{(+C)}P(x,y)\text dx+Q(x,y)\text dy (σ)∬​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dσ=∮(+C)​P(x,y)dx+Q(x,y)dy其中 ( + C ) (+C) (+C)表示 ( C ) (C) (C)为正向（一般指逆时针）。

定理2 设区域 ( σ ) ⊆ R 2 (\sigma)\subseteq \mathbb R^2 (σ)⊆R2， P , Q ∈ C ( ( σ ) ) P,Q\in C((\sigma)) P,Q∈C((σ))， A , B ∈ ( σ ) A,B\in(\sigma) A,B∈(σ)，则下列三个命题等价： (1) 沿 ( σ ) (\sigma) (σ)内任一分段光滑的简单闭曲线 C C C，均有 ∮ ( + C ) P d x + Q d y = 0 \oint_{(+C)}P\text dx+Q\text dy=0 ∮(+C)​Pdx+Qdy=0成立； (2) 线积分 ∫ ( A ) ( B ) P d x + Q d y \int_{(A)}^{(B)}P\text dx+Q\text dy ∫(A)(B)​Pdx+Qdy的值在 ( σ ) (\sigma) (σ)内与积分路径无关； (3) 被积表达式 P d x + Q d y P\text dx+Q\text dy Pdx+Qdy在 ( σ ) (\sigma) (σ)内是某个二元函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的全微分。

环量：对于向量场 A ( M ) = P i + Q j \bm A(M)=P\bm i+Q\bm j A(M)=Pi+Qj，称沿闭曲线 ( C ) (C) (C)的第二型线积分 ∮ ( C ) A ( M ) ⋅ d s \oint_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s ∮(C)​A(M)⋅ds为向量场 A \bm A A沿闭曲线 ( C ) (C) (C)的环量。

无旋场：沿 ( σ ) (\sigma) (σ)内任一分段光滑的简单闭曲线 C C C线积分均为零，即环量均为零 保守场：线积分 ∫ ( C ) A ( M ) ⋅ d s \int_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s ∫(C)​A(M)⋅ds的值与路径无关 有势场：存在 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)使得 d u = P d x + Q d y \text du=P\text dx+Q\text dy du=Pdx+Qdy

定理2表明：无旋场、保守场、有势场相互等价

定理3 设 ( σ ) (\sigma) (σ)为一平面单连通域， P , Q ∈ C ( 1 ) ( ( σ ) ) P,Q\in C^{(1)}((\sigma)) P,Q∈C(1)((σ))，则定理2中的三个命题成立的充要条件是 ∂ Q ∂ x ≡ ∂ P ∂ y , ( x , y ) ∈ σ \frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y},\quad(x,y)\in\sigma ∂x∂Q​≡∂y∂P​,(x,y)∈σ即四个条件等价。

定理4（高斯公式） 设空间有界闭区域 ( V ) (V) (V)由分片光滑的闭曲面 ( S ) (S) (S)所围成， A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) ∈ C ( 1 ) ( ( V ) ) \bm A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\in C^{(1)}((V)) A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))∈C(1)((V))，则 ∭ ( V ) ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V = ∯ ( S ) P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iiint\limits_{(V)}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text dV=\oiint\limits_{(S)}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy (V)∭​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dV=(S)∬ ​​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy其中 ( S ) (S) (S)的法向量朝外。

简写为： ∭ ( V ) ∇ ⋅ A d V = ∯ ( S ) A ⋅ d S \iiint\limits_{(V)}\nabla\cdot\bm A\text dV=\oiint\limits_{(S)}\bm A\cdot\bold d\bm S (V)∭​∇⋅AdV=(S)∬ ​​A⋅dS通量： A ( M ) \bm A(M) A(M)对曲面 ( S ) (S) (S)的第二型面积分 ∬ ( S ) A ⋅ d S \iint\limits_{(S)}\bm A\cdot\bold d\bm S (S)∬​A⋅dS的物理意义是向量场 A ( M ) \bm A(M) A(M)对曲面 ( S ) (S) (S)的通量 通量密度/散度： div  A ( M ) = lim ⁡ ( Δ V → M ) ∯ ( S ) A ( M ) ⋅ d S Δ V = ∇ ⋅ A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z \text{div}\ \bm A(M)=\lim\limits_{(\Delta V\to M)}\frac{\oiint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S}{\Delta V}=\nabla\cdot\bm A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} div A(M)=(ΔV→M)lim​ΔV(S)∬ ​​A(M)⋅dS​=∇⋅A=∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​

通量有关的计算公式： (1) ∇ ⋅ ( C A ) = C ∇ ⋅ A \nabla\cdot(C\bm A)=C\nabla\cdot\bm A ∇⋅(CA)=C∇⋅A (2) ∇ ⋅ ( A ± B ) = ∇ ⋅ A ± ∇ ⋅ B \nabla\cdot(\bm A\pm\bm B)=\nabla\cdot\bm A\pm\nabla\cdot\bm B ∇⋅(A±B)=∇⋅A±∇⋅B (3) ∇ ⋅ u A = u ∇ ⋅ A + ∇ u ⋅ A \nabla\cdot u\bm A=u\nabla\cdot\bm A+\nabla u\cdot\bm A ∇⋅uA=u∇⋅A+∇u⋅A

定理5（斯托克斯公式） 设区域 ( G ) ⊆ R 3 (G)\subseteq\mathbb R^3 (G)⊆R3， P , Q , R ∈ C ( 1 ) ( ( G ) ) P,Q,R\in C^{(1)}((G)) P,Q,R∈C(1)((G))， ( C ) (C) (C)为 ( G ) (G) (G)内一条分段光滑的有向简单闭曲线， ( S ) (S) (S)是以 ( C ) (C) (C)为边界且完全位于 ( G ) (G) (G)的任一分片光滑的有向曲面， ( C ) (C) (C)的方向与 ( S ) (S) (S)的法向量符合右手螺旋定则，则 ∮ ( C ) P d x + Q d y + R d z = ∬ ( S ) ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \oint_{(C)}P\text dx+Q\text dy+R\text dz=\iint\limits_{(S)}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\text dy\text dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\text dz\text dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text dx\text dy ∮(C)​Pdx+Qdy+Rdz=(S)∬​(∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dzdx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy简写为： ∮ ( C ) A ⋅ d s = ∬ ( S ) ( ∇ × A ) ⋅ d S \oint_{(C)}\bm A\cdot\bold d\bm s=\iint\limits_{(S)}(\nabla\times\bm A)\cdot\bold d\bm S ∮(C)​A⋅ds=(S)∬​(∇×A)⋅dS环量：空间向量场 A \bm A A沿空间闭曲线 ( C ) (C) (C)的线积分 ∮ ( C ) A ( x , y , z ) ⋅ d s \oint_{(C)}\bm A(x,y,z)\cdot\bold d\bm s ∮(C)​A(x,y,z)⋅ds称为 A ( x , y , z ) \bm A(x,y,z) A(x,y,z)沿闭曲线 ( C ) (C) (C)的环量，它表示了 A \bm A A绕 ( C ) (C) (C)旋转趋势的大小。 环量密度：令 A \bm A A沿微小曲面 ( Δ S ) (\Delta S) (ΔS)的边界 ( Δ C ) (\Delta C) (ΔC)的环量为 Δ Γ \Delta\Gamma ΔΓ， n \bm n n为 ( Δ S ) (\Delta S) (ΔS)的法向量，则定义 A \bm A A在点 M M M沿 n \bm n n方向的环量密度为 d Γ d S = lim ⁡ ( Δ S ) → M ∮ ( Δ C ) A ⋅ d S Δ S \frac{\text d\Gamma}{\text dS}=\lim\limits_{(\Delta S)\to M}\frac{\oint_{(\Delta C)}\bm A\cdot\bold d\bm S}{\Delta S} dSdΓ​=(ΔS)→Mlim​ΔS∮(ΔC)​A⋅dS​其中 ( Δ S ) (\Delta S) (ΔS)不断缩小到点 M M M且保持法向量为 n \bm n n不变。它反映了 A \bm A A在点 M \bm M M绕方向 n \bm n n的旋转趋势大小。 旋度： r o t   A = ∇ × A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \bold{rot}\ A=\nabla\times\bm A=\begin{vmatrix}\bm i&\bm j&\bm k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix} rot A=∇×A= ​i∂x∂​P​j∂y∂​Q​k∂z∂​R​ ​ 则 d Γ d S = r o t   A ⋅ e n = ∥ r o t   A ∥ cos ⁡ ( r o t   A , e n ) \frac{\text d\Gamma}{\text dS}=\bold{rot}\ A\cdot\bm e_n=\|\bold{rot}\ A\|\cos(\bold{rot}\ A,\bm e_n) dSdΓ​=rot A⋅en​=∥rot A∥cos(rot A,en​)

旋度有关的计算公式： (1) ∇ × ( C A ) = C ∇ × A \nabla\times(C\bm A)=C\nabla\times\bm A ∇×(CA)=C∇×A (2) ∇ × ( A ± B ) = ∇ × A ± ∇ × B \nabla\times(\bm A\pm\bm B)=\nabla\times\bm A\pm\nabla\times\bm B ∇×(A±B)=∇×A±∇×B (3) ∇ × u A = u ( ∇ × A ) + ∇ u × A \nabla\times u\bm A=u(\nabla\times\bm A)+\nabla u\times\bm A ∇×uA=u(∇×A)+∇u×A

场的其他计算公式： (1) ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( ∇ × A ) − A ⋅ ( ∇ × B ) \nabla\cdot(\bm A\times\bm B)=\bm B\cdot(\nabla\times\bm A)-\bm A\cdot(\nabla\times\bm B) ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B) (2) ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 \nabla\cdot(\nabla\times\bm A)=0 ∇⋅(∇×A)=0（暴力运算即可证明） (3) ∇ × ( ∇ u ) = 0 \nabla\times(\nabla u)=\bm 0 ∇×(∇u)=0（因为有势场是无旋场） (4) ∇ ⋅ ( ∇ u ) = Δ u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 \nabla\cdot(\nabla u)=\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2} ∇⋅(∇u)=Δu=∂x2∂2u​+∂y2∂2u​+∂z2∂2u​ (5) ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A \nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot\bm A)-\nabla^2\bm A ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A，其中 ∇ 2 A = Δ A = ( Δ P , Δ Q , Δ R ) \nabla^2\bm A=\Delta \bm A=(\Delta P,\Delta Q,\Delta R) ∇2A=ΔA=(ΔP,ΔQ,ΔR)

定义 设有向量场 A ( M ) ∈ C ( ( G ) ) , ( G ) ⊆ R 3 \bm A(M)\in C((G)),(G)\subseteq\mathbb R^3 A(M)∈C((G)),(G)⊆R3。 (1) 若线积分 ∫ ( A ) ( B ) A ( M ) ⋅ d s \int_{(A)}^{(B)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s ∫(A)(B)​A(M)⋅ds的值在 ( G ) (G) (G)内与路径无关，则称 A \bm A A为保守场，其中 A , B A,B A,B为 ( G ) (G) (G)内任意两点； (2) 若在 ( G ) (G) (G)内恒有 r o t   A = 0 \bold{rot}\ A=0 rot A=0，则称 A \bm A A为无旋场； (3) 若存在定义在 ( G ) (G) (G)上的函数 u u u，使得 A = ∇ u \bm A=\nabla u A=∇u，则称 A \bm A A为有势场，并称 u u u为 A \bm A A的势函数。

定理6 设 ( G ) (G) (G)是一维单连域， A = ( P , Q , R ) ∈ C ( 1 ) ( ( G ) ) \bm A=(P,Q,R)\in C^{(1)}((G)) A=(P,Q,R)∈C(1)((G))，则下列四个命题等价： (1) A A A是无旋场； (2) A A A是保守场； (3) A A A是有势场； (4) 沿 ( G ) (G) (G)内任一简单闭曲线 ( C ) (C) (C)均有 ∮ ( C ) A ( M ) ⋅ d s = ∮ ( C ) P d x + Q d y + R d z = 0 \oint_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s=\oint_{(C)}P\text dx+Q\text dy+R\text dz=0 ∮(C)​A(M)⋅ds=∮(C)​Pdx+Qdy+Rdz=0

定义 若在向量场 A \bm A A的场域中处处都有 ∇ ⋅ A = 0 \nabla\cdot\bm A=0 ∇⋅A=0，则称 A \bm A A为无源场。

定理7 设 ( G ) ⊆ R 3 (G)\subseteq\mathbb R^3 (G)⊆R3是二维单连域， A ∈ C ( 1 ) ( ( G ) ) \bm A\in C^{(1)}((G)) A∈C(1)((G))，则下列三个命题是等价的： (1) A \bm A A是无源场； (2) A \bm A A沿 ( G ) (G) (G)内任一不自相交闭曲面 ( S ) (S) (S)的通量为 0 0 0，即 ∯ ( S ) A ⋅ d S = 0 \oiint\limits_{(S)}\bm A\cdot\text d\bm S=0 (S)∬ ​​A⋅dS=0； (3) 在 ( G ) (G) (G)内存在任一向量函数 B ( M ) \bm B(M) B(M)，使得 A = ∇ × B \bm A=\nabla\times\bm B A=∇×B，即 A \bm A A是某向量场 B \bm B B的旋度场，其中 B \bm B B称为 A \bm A A的一个向量势。

定义 既无源又无旋的向量场 A \bm A A称为调和场，即在场域内恒有 ∇ ⋅ A = 0 , ∇ × A = 0 \nabla\cdot\bm A=0,\quad\nabla\times\bm A=\bm 0 ∇⋅A=0,∇×A=0