y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1) y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)

定理1：如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1​(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2​(x)是方程（1）的两个解，那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)(2) 也是方程（1）的解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1​,C2​是任意常数。

解（2）从形式上看含有 C 1 C_1 C1​和 C 2 C_2 C2​两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。

设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1​(x),y2​(x),⋅⋅⋅,yn​(x)为定义在区间 I I I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1​,k2​,⋅⋅⋅,kn​，使得当 x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式 k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n = 0 k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1​y1​+k2​y2​+⋅⋅⋅+kn​yn​=0 成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。

应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。

定理2：如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1​(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2​(x)是方程（1）的两个线性无关的特解，那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x) 就是方程（1）的通解， C 1 , C 2 C_1,C_2 C1​,C2​是任意常数。

推论：如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ ， y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···，y_n(x) y1​(x),y2​(x),⋅⋅⋅，yn​(x)是n阶齐次线性方程 y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0 y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+···+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋅⋅⋅+an−1​(x)y′+an​(x)y=0 的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C n y n ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+···+C_ny_n(x) y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+⋅⋅⋅+Cn​yn​(x) 其中 C 1 , C 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , C n C_1,C_2,···,C_n C1​,C2​,⋅⋅⋅,Cn​为任意常数。

一阶非齐次线性微分方程 的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。

定理3：设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)是二阶非齐次线性方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) (3) y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) \tag{3} y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(3) 的一个特解。 Y ( x ) Y(x) Y(x)是与（3）对应的齐次方程（1）的通解，则 y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x) 是二阶非齐次线性方程（3）的通解。

由于对应的齐次方程（1）的通解 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C_1y_1+C_2y_2 Y=C1​y1​+C2​y2​中含有两个任意常数，所以 y = Y + y ∗ y=Y+y^* y=Y+y∗中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（3）的通解。

定理4：设非齐次线性方程（3）的右端 f ( x ) f(x) f(x)是两个函数之和，即 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1​(x)+f2​(x) 而 y 1 ∗ ( x ) y_1^*(x) y1∗​(x)与 y 2 ∗ ( x ) y_2^*(x) y2∗​(x)分别是方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1​(x) 与 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2​(x) 的特解，则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x) y1∗​(x)+y2∗​(x)就是原方程的特解。

这已订立通常称为线性微分方程的解的叠加原理。

定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程。

为解一阶非齐次线性方程，我们用了常数变易法。这方法的特点是：如果 C y 1 ( x ) Cy_1(x) Cy1​(x)是齐次线性方程的通解，那么，可以利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1​(x)（这变换是把齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数 u ( x ) u(x) u(x)而得到的）去解非齐次线性方程。这一方法也适用于解高阶线性方程。下面就二阶线性方程来作讨论。

如果已知齐次方程（1）的通解为 Y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) Y(x)=C1​y1​(x)+C2​y2​(x) 那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程（3）的通解。令 y = y 1 ( x ) v 1 + y 2 ( x ) v 2 (4) y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2 \tag{4} y=y1​(x)v1​+y2​(x)v2​(4) 要确定未知函数 v 1 ( x ) v_1(x) v1​(x)及 v 2 ( x ) v_2(x) v2​(x)使（4）式所表示的函数满足非齐次方程（3）。为此对（4）式求导，得 y ′ = y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ + y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y'=y_1v_1'+y_2v_2'+y_1'v_1+y_2'v_2 y′=y1​v1′​+y2​v2′​+y1′​v1​+y2′​v2​ 由于两个未知函数 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1​,v2​只需使（4）式所表示的函数满足一个关系式（3），所以可规定它们再满足一个关系式。从 y ′ y' y′的上述表示可看出，为了使 y ′ ′ y'' y′′的表示式中不含 v 1 ′ ′ v_1'' v1′′​和 v 2 ′ ′ v_2'' v2′′​，可设 y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ = 0 (5) y_1v_1'+y_2v_2'=0 \tag{5} y1​v1′​+y2​v2′​=0(5) 从而 y ′ = y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y'=y_1'v_1+y_2'v_2 y′=y1′​v1​+y2′​v2​ 再求导，得 y ′ ′ = y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + y 1 ′ ′ v 1 + y 2 ′ ′ v 2 y''=y_1'v_1'+y_2'v_2'+y_1''v_1+y_2''v_2 y′′=y1′​v1′​+y2′​v2′​+y1′′​v1​+y2′′​v2​ 把 y , y ′ , y ′ ′ y,y',y'' y,y′,y′′代入方程（3），化简得 y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) v 1 + ( y 2 ′ ′ + P y 2 ′ + Q y 2 ) v 2 = f y'_1v'_1+y_2'v'_2+(y_1''+Py_1'+Qy_1)v_1+(y_2''+Py_2'+Qy_2)v_2=f y1′​v1′​+y2′​v2′​+(y1′′​+Py1′​+Qy1​)v1​+(y2′′​+Py2′​+Qy2​)v2​=f 注意到 y 1 y_1 y1​及 y 2 y_2 y2​是齐次方程（1）的解，故上式即为 y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ = f (6) y_1'v_1'+y_2'v_2'=f \tag{6} y1′​v1′​+y2′​v2′​=f(6) 联立方程（5）与（6），在系数行列式 W = ∣ y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ ∣ = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ≠ 0 W =\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} =y_1y_2'-y_1'y_2 \neq 0 W=∣∣∣∣​y1​y1′​​y2​y2′​​∣∣∣∣​=y1​y2′​−y1′​y2​​=0 时，可解得 v 1 ′ = − y 2 f W ,   v 2 ′ = y 1 f W v_1'=-\frac{y_2 f}{W},\, v_2'=\frac{y_1f}{W} v1′​=−Wy2​f​,v2′​=Wy1​f​ 对上两式积分（假定 f ( x ) f(x) f(x)连续），得 v 1 = C 1 + ∫ ( − y 2 f W ) d x ,   v 2 = C 2 + ∫ y 1 f W d x v_1=C_1+\int(-\frac{y_2f}{W})dx,\, v_2=C_2+\int\frac{y_1f}{W}dx v1​=C1​+∫(−Wy2​f​)dx,v2​=C2​+∫Wy1​f​dx 于是得非齐次方程（3）的通解为 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 − y 1 ∫ y 2 f W d x + y 2 ∫ y 1 f W d x y=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}dx+y_2\int\frac{y_1f}{W}dx y=C1​y1​+C2​y2​−y1​∫Wy2​f​dx+y2​∫Wy1​f​dx

如果只知齐次方程（1）的一个不恒为零的解 y 1 ( x ) y_1(x) y1​(x)，那么，利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1​(x)，可把非齐次方程（3）化为一阶线性方程。

事实上，把 y = y 1 u ,   y ′ = y 1 u ′ + u 1 ′ u ,   y ′ ′ = y 1 u ′ ′ + 2 y 1 ′ u ′ + y 1 ′ ′ u y=y_1u,\,y'=y_1u'+u_1'u,\, y''=y_1u''+2y_1'u'+y_1''u y=y1​u,y′=y1​u′+u1′​u,y′′=y1​u′′+2y1′​u′+y1′′​u 代入方程（3），化简得 y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) u ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) u = f y_1u''+(2y_1'+Py_1)u'+(y_1''+Py_1'+Qy_1)u=f y1​u′′+(2y1′​+Py1​)u′+(y1′′​+Py1′​+Qy1​)u=f 由于 y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 = 0 y_1''+Py_1'+Qy_1=0 y1′′​+Py1′​+Qy1​=0，故上式为 y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ ′ + P y 1 ) u ′ = f y_1u''+(2y_1''+Py_1)u'=f y1​u′′+(2y1′′​+Py1​)u′=f 令 u ′ = z u'=z u′=z，上式即化为一阶线性方程 y 1 z ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) z = f (7) y_1z'+(2y_1'+Py_1)z=f \tag{7} y1​z′+(2y1′​+Py1​)z=f(7) 把方程（3）化为方程（7）以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程（7）的通解为 z = C 2 Z ( x ) + z ∗ ( x ) z=C_2Z(x)+z^*(x) z=C2​Z(x)+z∗(x) 积分得 u = C 1 + C 2 U ( x ) + u ∗ ( x ) u=C_1+C_2U(x)+u^*(x) u=C1​+C2​U(x)+u∗(x)（其中 U ′ ( x ) = Z ( x ) , u ∗ ’ ( x ) = z ∗ ( x ) U'(x)=Z(x),u^{*}{’}(x)=z^*(x) U′(x)=Z(x),u∗’(x)=z∗(x)），

上式两端乘 y 1 ( x ) y_1(x) y1​(x)，便得方程（3）的通解 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 U ( x ) y 1 ( x ) + u ∗ ( x ) y 1 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2U(x)y_1(x)+u^*(x)y_1(x) y=C1​y1​(x)+C2​U(x)y1​(x)+u∗(x)y1​(x) 上式方法显然也适用于求齐次方程（1）的通解。