今天我给大家讲一个故事：从前有座山，叫高山，山上有棵树，叫高树，树上挂了很多人，叫......高人？

上过大学的孩子们都知道，《高等数学》绝对称得上是一门让人又爱又恨的课程。爱的是它的高学分，绩点权重大，随便考个七八十分都能顶过思修马哲近代史科科90+。恨的是它的高难度，公式定理一大堆，牛顿、莱布尼茨、拉格朗日、泰勒、高斯......前人种树太多，后人也就太容易挂。

但是，高数当真有那么难吗？如果我说并没有，那么这个逼可就装大了，驾驭不了。作为一名资深学渣，我的高数成绩非常烂，以至于考研的时候也给拖了大大的后腿，所以我的回答是......

不过，高数真正难的地方主要在于解题思路，至于其基本概念、定理、公式则没有想象中的那么难理解。因此，今天这篇文章我们就来扯扯那些不那么难的概念、定理和公式。

1. 极限

战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中有这样一句话：

一根一尺长的木棒，每天截去一半，永远都截不完。每天截后剩下的部分长度分别为：第一天剩1/2尺，第二天剩1/2²尺，第三天剩1/2³尺，......，第n天剩1/2ⁿ尺，......

显然，在这个例子中，我们能发现，当n趋于无穷大时，1/2ⁿ将趋于0，这就是我们所说的极限。

其严谨的数学定义如下：

是不是看得一脸懵逼？没关系，我们举个例子来辅助理解，请看下图：

答案是什么呢？馒头！是的，有馅是包子，哪怕只有一丁点馅也是包子，而当馅趋于0时，包子就趋于馒头了。

然而并不是所有的极限都存在，比如让包子的馅趋于无穷，极限就不存在，结果只能是一个无穷大的包子。

说完了数列极限，我们再来谈一谈函数的极限。由于两者定义差不多，只是把Xn换成了f(x)，因此我就不再放定义了。这里要说明的是，数列极限是函数极限的一种特殊形式，即自变量n为正整数的情形。

另外，函数还存在左右极限，左极限即自变量X从负无穷处趋于X0，右极限反之。这也是数列极限没有的性质。

讲到这里极限就介绍得差不多了，最后再来举个例子加深你的理解，果然高手都在民间，哈哈哈......

2. 微分

高等数学有一个俗称，叫微积分，所以微分和积分是高数最重要的两部分内容，同时也是最难的内容，下面我们就来重点进行介绍。

不过在讲解微分之前，我们要先来了解一个概念，它叫导数。

2.1 导数

事实上导数的概念我们在高中就已经接触过了，一言不合就求导是家常便饭。为什么导数这么好用？因为它就像《三体》里面的降维攻击，三次函数可以通过求导化为二次函数，再求导化为一次函数，而一次函数是我们初中就会的东西了。

所以，老师经常这么教我们，高考最后一道大题，甭管你会不会做，先把题目给的函数拿来求导，这一步就有2分！别小看了这2分，它有可能决定你最终是上清华还是上蓝翔。

当然，高中讲的导数和大学里的导数还是不太一样的，主要区别在于大学里的定义更加严谨，利用到了极限的知识。不过这里我不打算把导数的定义搬出来讲，因为本身意义也不大，我们只要明白导数的几何意义是函数曲线在某点处切线的斜率就足够了。

2.2 微分

介绍完导数我们来讲讲什么是微分，这里就有必要放上定义了，请看下图：

简单来说，微分就是以直代曲，函数图像曲线可以近似看成由无穷小段的直线拼接而成，这样一来函数在x0处的改变量△y就可以近似用直线方程来求解，即上述定义中的△y=A△x，亦即该函数的微分。

那么，这个常数A是啥呢？经过前面的铺垫我想你已经猜到了，它就是函数在x0处的导数，即函数在该点切线的斜率。

对于一元函数而言，函数可导性与可微性是两个等价的概念。求出函数的导数之后，只要再乘以dx，就能得到相应的微分dy，即dy=f'(x0)dx。等式两边除以dx可得dy/dx=f'(x0)，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，因此，导数又被称为微商。

等等，好像有哪里不对......

看到这里，我想导数的心情应该是这样的：

2.3 微分学基本定理

在微分学中有一些重要的基本定理，这些定理把函数的导数与函数值在区间上的变化联系了起来。比如费马定理：

费马定理很好理解，若函数在x0处可导且取极值（极大值或极小值），那么函数在此点处的切线必然是水平的，具体如下图所示：

而根据费马定理则能推导出罗尔定理：

罗尔定理的几何意义可以用下图表示：

如果函数在a、b两点处的函数值相等，且满足连续及可导的条件，那么在a、b之间至少存在一点使得该点处的切线水平。

根据罗尔定理，我们又能推导出大名鼎鼎的拉格朗日中值定理。为什么说它大名鼎鼎呢？因为在大学考试周时经常流传着这样一个故事：

那么，这个定理说的是啥？请看下面的表述：

当然，这样的描述还是很抽象，我们依旧需要借助函数图像来辅助理解。

如果你稍微思考一下就会发现，拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理的更一般情况，把罗尔定理的函数图像倾斜一下不就得到了拉格朗日中值定理了？或者说罗尔定理就是当A=B时的拉格朗日中值定理，两者其实是相通的。

除了上述几个定理之外，还有柯西中值定理、泰勒中值定理等等，这些定理本质上其实都差不多，掌握一个其他的也就都能理解了，因此这里我就不再过多介绍。

3. 积分

讲完微分再来将积分就好理解多了，如果说微分是降维攻击，那么积分就是升维防御，是微分的逆过程。一个点经过积分就成了一条线，一条线积分就变成一个面，一个面再积分就是一个体，总之，越来越牛逼。

不过积分还分为两种，一种是用来求面积的，叫定积分，还有一种是用来求原函数的，叫不定积分。因此定积分是一个数，不定积分是函数的全体原函数。

我们来看一下百度百科的解释：

所以定积分和不定积分只是名字有点像而已，两者根本就不搭嘎，只不过在求解定积分时可以用被称为微积分基本定理的牛顿-莱布尼茨公式来计算而已。

那么，很自然的，我们就得来了解一下这个传说中牛逼叉叉的公式了。不过在此之前，我们还得先了解一下什么是原函数。

3.1 原函数

比如对F(x)=sinx求导得到f(x)=cosx，那么sinx就是cosx的原函数。此外，由于常数的导数等于零，因此在原函数的基础上加上任意常数构成的函数，对其求导后也还是会得到同样的导函数，所以就会出现一个导函数对应无数个原函数的情况。

如果用爸爸与儿子的关系来理解原函数与导函数，那么可以说一个爸爸只能生出一个儿子，而一个儿子则有无穷多个爸爸。

很奇怪是不是？事实上爸爸还是那个爸爸，只不过穿上了价格不一样的衣服，常数C就是爸爸的衣服，剥掉它爸爸还是同一个。

3.2 牛顿-莱布尼茨公式

这一公式左边是f(x)在区间[a,b]上的定积分，右边是其原函数在a、b两点处函数值之差，原本毫无关系的定积分和不定积分就这样联系起来了，并且形式还如此简洁，不得不说数学真的太美了！

有了这个公式，求定积分就变成了求原函数，因此这个公式在微积分中具有极其重要的意义，被称为微积分基本公式。

值得一提的是，这个公式的背后有一个科学史上著名的公案，即牛顿和莱布尼茨的微积分创始人之争，由于文章篇幅限制我就不展开介绍了，感兴趣的可以自行百度一下，挺有意思。

————————————这是昏割线——————————

我是饺子哥，文章首发微信公众号“一只水饺跳过去”，欢迎关注。每周十分钟读完一本书，以幽默风趣的方式带你遨游知识的海洋，体验阅读的乐趣~