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链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/30120671 间断点即不连续点。先从连续概念开始。 一. 连续点
1. 定义1 (i) (ii) (iii) 注1. 好多教材上都直接用条件 (iii) 作为连续点的定义,确实条件 (iii) 隐含了条件 (ii) 和 (i) ,但这样以来,就让很多高数新人对 “连续” 概念,总是理解不到位。那为什么不把这三条都说出来呢; 注2. 如果你能理解函数极限的定义,相信你能区分
2. 连续也可以等价地定义:
3. 若 从几何上看,连续函数是一条连绵不断的曲线。 二. 间断点 1. 间断点即不连续点,所以否定上述定义中的三条(注意:否定任意一条都足以构成间断点)
定义2. (1)若 (2) 若 (3) 若
2. 间断点的分类:设 第一类间断点:若 第二类间断点:否定第一类,若
注1. 有人问到震荡间断点,解释一下。第二类间断点是左、右极限至少有一个不存在。而极限不存在只有两种情况:(1) 极限“存在”,但为 注2. 可见,判断间断点分类只是基于左、右极限,所以,遇见间断点的题二话不说先求左右极限。
四类间断点示意图:
3. 判断间断点的一般解题步骤 由于初等函数在其定义区间上连续,故间断点只可能出现在:(1) 分段函数的分段点处;(2) 初等函数无定义的点(分母=0处)。于是, 第1步:找出所有可能的间断点; 第2步:逐个点计算其左极限、右极限,再判断其类型。
例1 设 解:(1) 可能的间断点:0,-1,1 (2) ① 对 左右极限都存在,故是第一类间断点,但不相等,故是跳跃间断点。 ② 对 左右极限都不存在,故是第二类间断点,又等于 ③ 对 左右极限都存在,故为第一类间断点,又相等,故为可去间断点。 (3) 连续区间首先得是定义域内,其次函数在其上连续。而初等函数在其定义域内都是连续的,所以,该函数的连续区间为:
附图: 注. 从图形上看, |
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