很多人都知道，高尔夫球的凹痕对它的空气动力学特性非常重要：它们会产生湍流，减少球的阻力。然而，这听起来是不是违反直觉？一般来说，光滑的物体比粗糙的物体更符合空气动力学。在今天的博文中，我们将深入探讨这个看起来有明显悖论的问题；学习如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用这些知识模拟高尔夫球的轨迹，最终找到击球的最佳角度。阅读本文，了解获得一杆进洞的机会……

小时候，我偶尔会在下雨天和家人一起在附近的高尔夫球场散步，那是唯一没有高尔夫球手敢打球的时候。我们经常玩的游戏是寻找之前不幸的球手丢失的球，找到球最多的人将获胜。经过无数个阴雨天，我们收集的高尔夫球越来越多！虽然我们不知道如何打高尔夫球，但是我们都认为球凹痕的存在是有原因的，可能是为了美观或让球在空中飞得更快。

有没有想过为什么高尔夫球有凹痕？

很多年过去了，现在 我 是那个在高尔夫球场丢球的不幸的高尔夫球手了（我想生活已经轮回了）。然而，我现在有可能通过工程师的视角再看一遍那些熟悉的球：为什么它们有凹痕？我可以使用 COMSOL Multiphysics 模拟高尔夫球吗？我可以优化我的击球方式以减少丢球，并有可能打出标准杆吗？之前的一篇博文已经帮助我改进了我的高尔夫挥杆，但我需要更多可以帮助我的信息，所以我找到了我的教科书……

纵观历史，科学家们研究了许多不同形状的流动。例如，涡街是由圆柱体绕流产生的。虽然球体不会产生这种大的交替流动结构，但流动特性也可以与雷诺数联系起来。在密度为 \rho, 动力黏性为 \mu, 速度为 U 的流体中的直径为 d的球体，雷诺数 Re 由下式定义：

(1)

低雷诺数流动被认为是层流，黏性力占主导地位。反之，如果雷诺数很大，则流动是湍流，惯性力占主导地位。与其比较阻力的绝对值 D，即物体对流动的阻力，较为常规的做法是定义无量纲阻力系数 C_D：

(2)

其中，A= \dfrac{1}{4} \pi d^2 是球的横截面积。

Gustave Eiffel 和 Ludwig Prandtl 几乎同时观察到，根据流态的不同，球体的阻力系数不是恒定的，甚至在很小的雷诺数范围内也有显著的差异。这种阻力系数的突然下降通常被称为 阻力危机，在其他类型的球（如足球和橄榄球）中也可以观察到。唯一的区别是阻力危机发生的位置，如下图所示。

光滑的球和高尔夫球的阻力系数分布比较。凹痕已将阻力危机转向较低的雷诺数值，但与光滑的球相比，下降幅度较小。另请注意，高尔夫球的阻力系数仅在有限的雷诺值范围内较小。

已知球手击出的高尔夫球的典型速度约为 260 公里/小时（160 英里/小时），考虑高尔夫球官方的设计（d= 42.67 毫米），可以给出一个典型的雷诺数 2\cdot10^5。从上图可以看出，这使得阻力系数落在雷诺数的完美范围内：此时阻力系数大约是光滑球阻力系数值的一半。这就解释了高尔夫球上有凹痕的原因。对于高尔夫球将经历的特定雷诺数范围，阻力较低。因此，球可以走得更远。

你可能对这个答案不满意。我们观察到，有凹痕的高尔夫球具有较低的阻力，但我们还没有解释 为什么 阻力危机发生在较低的速度。要理解这种现象，我们必须仔细观察球体周围的流动。

首先，我们回顾一下，物体的阻力是由两个来源引起的：

对于钝体，例如光滑的球，压差阻力在所研究的雷诺数范围内最为显着。因此，球体周围的压力分布将决定其总阻力。

在不涉及湍流理论的情况下，首先在球体的前部形成层流边界层（流动在几乎不交换质量或动量的不同层中分离）。从这一点来看，有两种选择，具体取决于流动的类型：

高尔夫球和光滑球体后面的湍流尾流的比较。雷诺数约为 1e5。

源自湍流边界层分离的带凹痕的高尔夫球（顶部）和源自层流边界层分离的光滑球（底部）后面的湍流尾流的比较。请注意，凹痕球的分离点位于更远的下游，尾流也更小。

大量能量在湍流尾流中损失，使压力显著下降。因此，作为球体的主要阻力，压差阻力就主要受尾流区域大小的影响。根据这些信息，阻力系数图就更能说得通。对于高尔夫球来说：

现在，我们明白了为什么高尔夫球会有凹痕：阻力较低，因此球可以走得更远。为了知道球可以走多远，我们首先需要计算它的轨迹。作用在球上的力和初始条件如下图所示，忽略浮力的影响，因为球几乎比相应体积的空气重 1000 倍。

初始条件和作用于高尔夫球上的力。

初始条件可以从之前的性能分析的最终结果中得出，其中球被 7 号铁杆以 145 公里/小时（90 英里/小时）的轴速击打：

使用牛顿第二定律对质量为 m 的球进行分析，\overrightarrow{a} 是它的加速度和 \overrightarrow{F_g} 是它的重力：

(3)

阻力的模是通过重新排列方程2 来计算的:

(4)

同样，由马格努斯效应产生的升力 L 由升力系数 C_L 定义，这取决于球的旋转速度 \omega：

(5)

Bearman 和 Harvey 在 1976 年对升力系数与高尔夫球旋转速率的相关性进行了广泛的研究（参考文献 1）。他们还观察到阻力系数也应该取决于旋转（第一个图的曲线适用于一个特定的旋转速率）。为了更普遍的描述，引入了一个无量纲自旋因子, 即圆周速度与流速之比 S:

(6)

虽然可以说结果是针对老式高尔夫球获得的，而且现在的曲线可能有所不同，但 Bearman 和 Harvey 的结果涵盖了现有文献中最大范围的雷诺数和自旋因子。因此，不应将本博客文章中获得的结果视为现代高尔夫球的真实值。下面的曲线是通过使用结合使用 COMSOL 模型和曲线拟合 App 对来自参考文献1 中图 9 的数据使用曲线数字化仪 App 拟合三次多项式曲线而获得的：

以自旋因子计算的阻力和升力系数分布。

光滑球的阻力系数取自标准阻力相关性（见第一张图片），升力系数近似等于旋转高尔夫球的升力系数（实际上这个系数更小）。

最后，由于摩擦会减慢旋转速度，因此可以使用指数衰减对旋转速率进行建模，如 Smits 和 Smith 提出的（参考文献2）。

(7)

式中，c=10^{-4} 是一个实验常数。

考虑到阻力与球的运动方向相反，升力与球的运动方向垂直，我们通过在 x 轴和 y 轴上的投影得到以下方程组：

(8)

和U=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}. 该方程组由一组常微分方程 (ODE) 组成，由于所有变量之间的依赖关系，它可能看起来很复杂。然而，使用 COMSOL Multiphysics 来实现和求解实际上很简单。

实现这个问题的最简单的方法是在一个 0 维组件中使用 事件 接口，它既可以使用全局方程节点求解方程8，并在球落地时（y=0）停止计算。

设置研究使用的变量。

第一步是设置研究使用的不同变量。在软件中，它们是通过不同的函数和全局参数来计算的。特别是， smooth 参数决定了被发射球的类型：

数量 xt 和 yt 是位置的时间导数，由事件接口计算。

求解球的位置的全局方程组。

第二步是使用相应的初始条件建立方程8的系统。由于已经定义了所有参数和变量，因此这一步很简单。

离散状态接口用于定义球是否已经落地。

与之前的博文一样，添加一个最适合开/关条件的离散状态 变量。这代表了球的整体状态：它要么已经着陆，要么没有。最初，球被认为没有落地，所以 landed=0。

指示器状态接口仅仅是当前的高度。一旦球落地，离散状态就会打开。

离散状态只有当球接触地面时才会被更新。我们不知道这个事件什么时候会发生，但我们可以用数学方法来翻译它（高度变成负数）。这就是隐式事件节点的确切用途：当指示器状态（此处为当前高度）满足特定条件时，事件就被触发。

求解器序列被修改以添加停止条件。

最后一步是创建研究 节点。参数研究 可以被用来依此计算高尔夫球和光滑球，和随时间变化的研究可以用于求解球的轨迹。为了事件被激活时停止计算，需要修改瞬态研究中的求解器序列。

现在一切都设置好了，让我们开始研究吧！

高尔夫球和被 7 号铁杆击中的光滑球的轨迹的实时动画。与光滑球相比，有凹痕的球受到的阻力要小得多（颜色图例显示了阻力系数）。请注意，球在轨迹的顶部经历了阻力危机，其速度（因此雷诺数）变低。

请注意，轨迹的形状不是抛物线，如果忽略阻力或升力，人们可能会发现。球首先几乎直线上升，然后在达到最大高度后突然下降。从结果中可以看出，与光滑的球相比，带有凹痕的球前进了 25%（30 米或 33 码）。换句话说，现在离草地更近了，并且不需要额外的力！

这个解释来自这样一个事实，即在整个飞行过程中，对抗球运动的阻力对于高尔夫球来说要小得多（原因在开头已经提到）。当球达到其最大高度时，与高度成正比的势能也达到最大值。这种能量转移是在损失动能的情况下进行的；所以球走得更慢。因此，雷诺数减少（或等效地，自旋因子增加）并且阻力因此增加。

关于大约 150m（165 码）的绝对运球距离，这远大于普通球员的典型高尔夫击球距离（128 m 或 140 码），但处于 PGA 球员典型击球距离的下限。考虑到阻力和升力数据并非源自现代高尔夫球，该结果是合理的。

凹痕对高尔夫球的影响现在应该很清楚了：它们使球飞得更远。然而，实际上，这并没有说明我应该如何 击球。假设杆身速度和攻角恒定，我应该给球施加什么发射角度，才能优化运球距离？第一种方法是运行参数研究，甚至是优化研究，来找到该值。这是一个图表，显示了在给定攻角和旋转速率下，根据发射角度的运球距离。

参数研究的结果，使用 -4.3° 的攻角和 6113rpm 的初始旋转，使用 7 号铁杆。看起来最佳发射角度应该在 20° 左右。

从这个数字来看，最佳攻角似乎在 20° 左右。然而，PGA 高尔夫球手（理论上，他们应该平均接近优化的角度）平均以 16° 的角度射击。出了什么问题？我们关于恒定旋转速率的假设是错误的：以更大的发射角度击球意味着击球时杆面需要“更加水平”。就像网球中的球被“切片”一样，由于摩擦力更大，高尔夫球旋转得更快，但速度更慢。

恒定攻角的两个动态杆面倾角的比较。该角度的测量是与水平线相比。当动态杆面倾角增加时，发射角增加。由于动态杆面倾角和攻角（通常称为“旋转倾角”）之间的角度变大，球会旋转得更快。

找到发射角度、旋转速率和球速之间的关系不是直接的，而且不需要实验或模拟的结果。那么，既然我们已经准备好了一个高尔夫球模型，就通过参数化来使用它！

教程模型参数化结果。使用三次样条对这些点进行插值以获得更平滑的曲线。正如预期的那样，较大的发射角会增加旋转速率，而速度则具有相反的行为。

我们必须谨慎对待结果，并应该进行更详细的研究，包括网格收敛研究，与其他轴的曲线比较等。尽管如此，结果仍然足够符合现实。

7 号铁杆的运球距离，取决于非恒定旋转的 -4.3° 攻角的发射角度。曲线已转移到较低的发射角度值，以更好地捕捉真实世界的行为。

现在我们可以使用正确的自旋和速度值再次运行参数研究。请注意，曲线已向左移动。换句话说，似乎减小发射角度（因此是动态杆面倾角）有助于减少自旋，并为球提供更高的平移动能。正如人们所期望的那样，该曲线并未以 16° 为中心。然而，为了获得这个结果，人们提出了许多假设（例如阻力和升力的分布以及自旋速率的相关性），这些假设对最终结果有很大影响。关于现代高尔夫球和球撞击分析的数据越多，越有助于获得更准确的结果。

在今天的博客文章中，我们回答了一个关于高尔夫球凹痕的看似简单的问题，这与特定雷诺数范围内球体上湍流边界层的行为有关。这也概述了工程中的一个经典过程。对普通物体的观察使我们对复杂的物理现象有了更深入的了解，进而使我们能够在 COMSOL Multiphysics 的某些假设下对其进行建模和验证。最后，我们找到了一个最佳的发射角度，并提取了对真实击球有用的信息。

很多高尔夫球观众可能已经问过与我类似的问题。要记住的教训是，尽量降低动态倾角，同时保持相同的攻角，以降低旋转速度。虽然仿真结果听起来很简单，但我不确定如何在球道上做到这一点。所以，如果要打好高尔夫球需要请教专业的高尔夫教练，而不是模拟工程师！

尝试在 COMSOL Multiphysics 中计算高尔夫球的轨迹。单击下面的按钮访问此博客文章中的模型文件。