高等代数 二次型与矩阵的合同(第6章)1 二次型,标准形,规范形 |
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准确地说,应该是将 x x x用 C x Cx Cx带入(这样能保证代换前后二次型中的元不变),但习惯上都记为将 x x x用 C y Cy Cy带入 3.二次型的等价与矩阵的合同 (1)概念: 命题1:数域
K
K
K上的2个
n
n
n元二次型
x
′
A
x
,
y
′
B
y
x'Ax,y'By
x′Ax,y′By等价当且仅当
n
n
n级对称矩阵
A
,
B
A,B
A,B合同 (3)合同类: 注意:①1个二次型的标准形可以不唯一 2.实数域上的标准型: 命题2:实数域上的
n
n
n元二次型
x
′
A
x
x'Ax
x′Ax有1个标准型为
λ
1
y
1
2
+
λ
2
y
2
2
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
2
(
10
)
λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+...+λ_ny_n^2\qquad(10)
λ1y12+λ2y22+...+λnyn2(10)其中
λ
1
,
λ
2
.
.
.
λ
n
λ_1,λ_2...λ_n
λ1,λ2...λn是
A
A
A的全部特征值 3.正交替换: 引理1:设
A
,
B
A,B
A,B都是数域
K
K
K上的
n
n
n级矩阵,则
A
≃
B
A\simeq B
A≃B,当且仅当
A
A
A经过一系列初等行/列变换可以变成
B
B
B.此时对
I
I
I作上述初等行/列变换中的初等列变换,就得到1个可逆矩阵
C
C
C,使得
C
′
A
C
=
B
C'AC=B
C′AC=B 定理1:数域
K
K
K上任一
n
n
n级对称矩阵都合同于1个对角矩阵 定理2:数域 K K K上任一 n n n元二次型都等价于1个只含平方项的二次型 注:①以上2个定理中的数域 K K K都可被扩展为特征不为2的域 F F F (3)利用成对的初等行/列变换求解: 命题3:数域
K
K
K上
n
n
n元二次型
x
′
A
x
x'Ax
x′Ax的任一标准形中,系数不为0的平方项的个数等于该二次型的矩阵
A
A
A的秩 三.实二次型的规范形(6.2) 1.实二次型的规范形 (1)概念: 定理3(惯性定理):
n
n
n元实二次型
x
′
A
x
x'Ax
x′Ax的规范形是唯一的 2.惯性指数与符号差 (1)概念: 命题4:2个 n n n元实二次型等价 ⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的规范形相同 ⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等,并且正惯性指数也相等 (3)平方项个数于惯性指数的关系: (定理3的)推论1:任一
n
n
n级实对称矩阵
A
≃
d
i
a
g
{
1...1
,
−
1...
−
1
,
0...0
}
A\simeq diag\{1...1,-1...-1,0...0\}
A≃diag{1...1,−1...−1,0...0},其中1的个数等于
x
′
A
x
x'Ax
x′Ax的正惯性指数,-1的个数等于
x
′
A
x
x'Ax
x′Ax的负惯性指数(分别把它们称为
A
A
A的正/负惯性指数),该对角矩阵称为
A
A
A的合同规范形 四.复二次型的规范形(6.2) 1.概念: 定理4:复二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax的规范形是唯一的 3.复二次型等价的判定: 命题5:2个 n n n元复二次型等价 ⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的规范形相同 ⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等 推论1:任一 n n n级复对称矩阵 A A A合同于对角阵 [ I r 0 0 0 ] \left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right] [Ir000]其中 r = r a n k ( A ) r=rank(A) r=rank(A) 推论2:2个 n n n级复对称矩阵合同 ⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等 由推论2立得:秩是 n n n级复对称矩阵组成的集合在合同关系下的完全不变量 |
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